¿Por qué no existe un grupo que tiene cuatro elementos de orden dos?
Mi profesor dijo, si eliminas el elemento de identidad y las inversas propias, el número de elementos de orden dos debería ser impar. Entonces, en un grupo, el número de elementos de orden dos no puede ser cuatro.
Respuestas
Comentarios preliminares (motivados por el comentario de bof a continuación). Es difícil analizar lo que dice que dice su profesor por algunas razones. Primero, la identidad de un grupo es su propia inversa, por lo que "identidad y autoinversiones" es redundante. En segundo lugar, un elemento de un grupo es autoinverso si y solo si es la identidad o tiene el orden dos. Entonces, si "eliminas las autoinversiones", entonces no quedan elementos de orden dos.
En cualquier caso, estos son los hechos:
Hecho 1. Si$G$ es un grupo finito de orden impar, entonces $G$ tiene cero elementos de orden 2.
Hecho 2. Si$G$ es un grupo finito de orden par, entonces $G$ tiene un número impar de elementos de orden 2.
Hecho 3. Si$G$ es un grupo arbitrario con un número finito, pero distinto de cero, de elementos de orden 2, entonces $G$ tiene un número impar de elementos de orden 2.
Entonces, si lo juntamos todo, obtenemos la siguiente descripción.
Si $G$ es un grupo, entonces exactamente uno de los siguientes se mantiene.
- $G$ no tiene elementos de orden 2.
- $G$ tiene infinitos elementos de orden 2.
- $G$ tiene un número impar de elementos de orden 2.
Tenga en cuenta que el Hecho 3 generaliza el Hecho 2, si asume que$p=2$caso del teorema de Cauchy , que dice que un grupo finito de orden par tiene un elemento de orden 2 . sin embargo, el$p=2$ El caso del Teorema de Cauchy se sigue directamente del Hecho 2. Así que esto justifica dar demostraciones separadas de los Hechos 2 y 3.
Así que comencemos con las pruebas.
Prueba de hecho 1. Esto se sigue del teorema de Lagrange , que implica que el orden de un elemento en un grupo finito siempre divide el orden del grupo.
Prueba de hecho 2. Partición$G$ en tres piezas:
Pieza 1: el elemento de identidad
Pieza 2: los elementos de orden superior a 2
Pieza 3: los elementos del orden 2
Hay un número par de elementos en la pieza 2 ya que cada elemento en la pieza 2 puede emparejarse con su inverso, que también está en la pieza 2 y no es igual al elemento original. (Aquí usamos el hecho de que$x=x^{-1}$ si $x$ tiene orden como máximo 2.)
Entonces, el número total de elementos en las piezas 1 y 2 es impar. Ya que$G$ tiene orden par, el número de elementos de la pieza 3 también es impar.
Prueba del hecho 3. (Vea esta pregunta: el número de elementos de orden 2 en un grupo infinito . Repetiré el argumento de Mikko Korhonen).
Dejar $G$ ser un grupo y dejar $X$ser los elementos de orden como máximo 2. Suponga$G$ tiene un elemento $t$ de orden 2 (entonces $t\in X$). Dividir$X$en dos pedazos. La pieza 1 son los elementos en$X$ que conmuta con $t$y la pieza 2 es el resto. Entonces podemos emparejar cada uno$x$ en la pieza 1 con $xt$, y podemos emparejar cada uno $x$ en la pieza 2 con $txt^{-1}$. (Hay que comprobar que se trata de una pareja bien definida, es decir, si$x$ está en la pieza 1 entonces $xt$ está en la pieza 1 y es distinta de $x$; y si$x$ está en la pieza 2 entonces $txt^{-1}$ está en la pieza 2 y es distinta de $x$.) Así que ambas piezas tienen un número par de elementos, por lo tanto $X$tiene un número par de elementos. Eliminando la identidad, obtenemos un número impar de elementos de orden 2.