Por qué ${\rm Ult}(V,{\cal U})\vDash|[id]_{\cal U}|<j_{\cal U}(\kappa)$, cuando $\cal U$ es un $\delta$-Ultrafiltro fino completo encendido $\cal P_\kappa(\alpha)$?

Question

El siguiente argumento aparece en la demostración del teorema 4.7. en el artículo de Bagaria-Magidor Grupo de radicales y cardenales fuertemente compactos .

Dejar $\delta<\kappa$ ser incontables cardenales que pueden ser singulares y dejar $\alpha$ ser un ordinal tal que $\alpha\geq\kappa$. Supongamos que existe un$\delta$-medida fina completa $\mathcal{U}$ en $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)$, eso es un $\delta$-Ultrafiltro completo $\mathcal{U}$ en $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)=\{x\subseteq\alpha:|x|<\kappa\}$ tal que $\{x\in\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha):a\in x\}\in\mathcal{U}$ para cada $a\in\alpha$. Dejar$j_{\mathcal{U}}:V\longrightarrow Ult(V,\mathcal{U})$Ser la incrustación de ultrapotencia correspondiente. Ya que$\mathcal{U}$ es $\delta$-completo, entonces $Ult(V,\mathcal{U})$está bien fundada. Además, también por$\delta$-completitud, el punto crítico de $j_{\mathcal{U}}$ es mayor o igual a $\delta$. Ahora mi pregunta:

Por qué $Ult(V,\mathcal{U})\vDash|[id]_{\mathcal{U}}|<j_{\mathcal{U}}(\kappa)$?

Gracias por adelantado.

(Habría agregado la etiqueta ultrapowers si existiera, pero no es así y no tengo reputación para crearla).

Answer 1

Recuerda eso $j_{\mathcal U}(\kappa)$ es (la imagen bajo colapso transitivo de) la clase de equivalencia en la ultrapotencia de la función constante $c$ con valor $\kappa$. Entonces, según el teorema de Los, lo que debe demostrarse es que$|id_{\mathcal U}(a)|<c(a)$ para $\mathcal U$-casi todos $a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$. Es decir,$|a|<\kappa$ para casi todos $a$. Pero esta desigualdad es cierta para todos$a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$, por definición de $\mathcal P_\kappa(\alpha)$.