Problema con los ángulos dirigidos que suman ${\pi \over 2}$.
Estaba resolviendo una sección de mi libro (EGMO Lemma 1.30) donde el autor analiza los usos de los ángulos dirigidos, cuando encontré:
Puntos $A, B, C$ acostarse en un círculo con centro $O$. Muestra esa$\measuredangle$ $OAC$ = $90^\circ$ - $\measuredangle$ $CBA$.
Déjame denotar un ángulo dirigido con $\measuredangle$.(En todas partes)

Aquí hay un intento; el autor habla de los ángulos dirigidos en azul, y se debe demostrar que suman la mitad$\pi$radianes. Las líneas en rojo son mi propia construcción.
Por ángulos dirigidos, sabemos que $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(el teorema del ángulo inscrito).
Y tambien que$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ (triángulo $OAC$ es isósceles).
Ahora, por un teorema de ángulos dirigidos, $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$
Pero después de esto, ya que estamos trabajando módulo $\pi$ radianes, es ininteligible multiplicar o dividir por $2$, lo cual tengo que hacer, por lo que mi intento falló.
Las respuestas son bienvenidas.
Respuestas
Por ángulos dirigidos, sabemos que $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(el teorema del ángulo inscrito).
Y tambien que$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ (triángulo $OAC$ es isósceles).
Ahora, por un teorema de ángulos dirigidos, $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$
Después de esto podemos escribir $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$ y resustituir $\measuredangle$ $COA$ como $2\times \measuredangle$ $CBA$
Obtenemos, $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=0^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$
que es equivalente a escribir como $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=180^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$
Divide ambos lados por $2$y proceda a obtener $\measuredangle$ $OAC$ + $\measuredangle$ $CBA$ = $90^\circ \ (\text{mod}\ 90^\circ)$
using : If a ≡ b (mod c) and gcd(c, d) = g then a/d ≡ b/d (mod c/g)
Por lo tanto probado.