Problema de álgebra de precálculo sobre números racionales e irracionales.

Question

Dejar $ a, b $Ser números irracionales. Lo sabemos$ a + b $, $ a^3 + b^3 $ y $ a^2 + b $ son racionales.

He probado que $ ab $, $ a + b^2 $también son racionales. Traté de encontrar algunos ejemplos:$ (1 - \sqrt{x}, 1 + \sqrt{x}) $, $ (1 - \sqrt[3]{x}, 1 + \sqrt[3]{x}) $, $ (1 - \sqrt[6]{x}, 1 + \sqrt[6]{x}) $, incluso funciones trigonométricas.

Answer 1

Tomar $$(a,b)=\left(\frac{1+\sqrt{r}}{2},\frac{1-\sqrt{r}}{2}\right),$$ dónde $r\in\mathbb Q$, $r>0$ y $\sqrt{r}\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$.