Producto forzado de sistemas simétricos
Dada una familia de nociones forzadas $(P_i)_{i\in I}$ podemos tomar el producto $P:=\prod_{i\in I}P_i$ como una noción forzada para crear un filtro genérico de la forma $G=(G_i)_{i\in I}$ tal que para cada $i\in I$ la proyección $G_i$ corresponde al filtro genérico creado al forzar con $P_i$. Esto se denomina forzamiento de producto y nos permite unir varios tipos diferentes de objetos genéricos a la vez. (Para una discusión más detallada del tema, consulte Forzamiento de productos y objetos genéricos )
Ahora mi pregunta es si el forzamiento del producto puede combinarse con el forzamiento simétrico y cómo hacerlo. Supongamos que tenemos una familia de nociones forzadas como la anterior y una familia de grupos$(\mathcal{G}_i)_{i\in I}$ tanto como $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ tal que $\mathcal{G}_i$ es un subgrupo de $Aut(P_i)$ y $\mathcal{F}_i$ es un filtro normal en $\mathcal{G}_i$ para todos $i\in I$. ¿Podemos simplemente definir$P$ como arriba con $\mathcal{G}:=\prod_{i\in I}\mathcal{G}_i$ actuando $P$ componente y $\mathcal{F}\simeq\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i$ como un filtro normal en $\mathcal{G}$ ?
Por ejemplo, considere el modelo simétrico original de Cohen de $ZF+\neg AC$ donde colinda numerablemente muchos reales genéricos y luego procede a construir un subconjunto infinito $A\subset \mathbb{R}$sin subconjuntos infinitos contables. Entonces la construcción descrita anteriormente debería permitirnos unirnos$I$ muchos de esos conjuntos $(A_i)_{i\in I}$ En seguida.
¿Hay alguna complicación que se pueda encontrar con este tipo de construcción (es decir, forzamiento simétrico del producto)? ¿Existe literatura sobre el tema?
Respuestas
Sí, hay mucho de esto en la literatura. Aunque muy poco en las formas de "marco abstracto". Esto es algo que se hizo esencialmente desde los primeros días del forzamiento, y puede encontrar evidencia de eso en los primeros artículos.
En mis obras
Karagila, Asaf , iterando extensiones simétricas , J. Symb. Iniciar sesión. 84, N ° 1, 123-159 (2019). ZBL1448.03038 .
Karagila, Asaf , El modelo Morris , Proc. A.m. Matemáticas. Soc. 148, núm. 3, 1311-1323 (2020). ZBL07159661 .
Puedes encontrar un tratamiento más general. Los productos son un caso particular de una iteración, y el primer artículo trata sobre el caso en el que el soporte es finito. En el caso de un producto, sin embargo, podemos prescindir de algunas de las dificultades de generalizar iteraciones a soportes arbitrarios, y parte del trabajo se realiza en el segundo artículo.
Además de que puede ver productos definidos "a mano" en muchos lugares, es fácil ver que las definiciones son válidas para cualquier tipo de sistema simétrico (pero los productos se usan normalmente con forzamientos de estilo Cohen). A continuación se muestran algunos ejemplos recientes, principalmente de mi trabajo que giraba este tema con bastante frecuencia, y ejemplos más antiguos.
Hayut, Yair; Karagila, Asaf , espectros de uniformidad. , Comentario. Matemáticas. Univ. Villancico. 60, N ° 2, 287-300 (2019). ZBL07144894 .
Karagila, Asaf , Incorporación de órdenes en los cardenales con (\ mathsf {DC} _ {\ kappa}) , Fundam. Matemáticas. 226, núm. 2, 143-156 (2014). ZBL1341.03068 .
Karagila, A. , el lema de Fodor puede fallar en todas partes , Acta Math. Colgado. 154, N ° 1, 231-242 (2018). ZBL1413.03012 .
Monro, GP , Resultados de independencia sobre conjuntos finitos de Dedekind , J. Aust. Matemáticas. Soc., Ser. A 19, 35 - 46 (1975). ZBL0298.02066 .
Roguski, Stanisław , una clase adecuada de cardenales incomparables por parejas , Colloq. Matemáticas. 58, nº 2, 163 - 166 (1990). ZBL0706.03038 .
Entre todos estos, verá soportes finitos, contables (o $\kappa$-) admite, Easton admite, y verá que saltar hacia cualquier otra cosa (que ahora es solo otro tipo de soporte mixto es realmente lo mismo).
De hecho, incluso tenemos más poder ahora ya que podemos hablar de cambiar el soporte en el producto de los filtros y los grupos. Uno pensaría que esto significa que podemos decir mucho más, pero de hecho, generalmente es irrelevante.
En mi artículo sobre iteraciones describí un concepto llamado "tenacidad". Hacia el final de mi doctorado. En una de las muchas discusiones que tuve con Yair Hayut, decidimos tratar de averiguar qué subyace realmente a ese concepto. Y resultó que todo sistema simétrico equivale a uno tenaz. Y eso significa que jugar con diferentes soportes (es decir, soporte finito en los filtros mientras se usa Easton en el forzado) generalmente es equivalente a cualquier soporte más pequeño que esté usando. No necesariamente siempre, pero normalmente.
En cuanto al modelo Cohen, eso es un poco complicado. Cada genérico es real, y no solo nos preocupamos por ellos, también nos preocupamos por el conjunto de todos los genéricos. Entonces, esto en realidad no es un producto, sino más bien una iteración de agregar cada elección real, violando al no agregar el conjunto de todos los reales, y luego forzando a agregar el conjunto de genéricos sin su buen orden. Todo esto hace que el enfoque de pensarlo como una sola extensión sea mucho más simple.