Progresiones aritméticas de primos gaussianos

Question

Dado $u\in\mathbb{C}$ y $v\in\mathbb{C}$ consideremos la siguiente progresión: $$z_n=u+nv\;\;\;\;\;\;\;\;\;n\ge 0$$

¿Es posible encontrar progresiones? $z_n$ generando primos gaussianos para una secuencia larga arbitraria de valores consecutivos de n?

Por ejemplo, $z_n=-13-2i+n(3+i)$ genera primos gaussianos para todos los valores $0\le n\le 8$ (examina la norma $|z_n|^2=10n^2-82n+173$):

Si no es así, ¿se conoce la progresión de longitud máxima?

Muchas gracias.

Answer 1

El teorema de Green-Tao también muestra que hay progresiones aritméticas arbitrariamente largas entre los primos (racionales) que son congruentes con 3 módulo 4. Ver, por ejemplo, esta pregunta de MO ¿ Es cierto el teorema de Green-Tao para primos dentro de una progresión aritmética dada? .

Dado que cualquier primo racional que sea 3 mod 4 es un primo gaussiano, esto muestra que los primos gaussianos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

(Esta es quizás una clase de ejemplos ligeramente insatisfactoria. No sé si hay progresiones aritméticas arbitrariamente largas de números primos en $\mathbf{Z}[i]$ que no están en $\mathbf{Z}$ o $i \mathbf{Z}$.)

Answer 2

Un teorema de Tao arxiv.org/abs/math/0501314 dice: dado cualquier conjunto finito de puntos$v_i \in \mathbb{Z}[i]$ hay infinitamente muchos $a\in \mathbb{Z}[i],r\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ tal que todos $a+rv_i$son números primos gaussianos. Elegir una forma de dos líneas paralelas, digamos$v_{1,j}=j,v_{2,j}=i+j,j\in \{1, \ldots,k\}$, muestra que también hay largas progresiones de números primos gaussianos, no todos en la línea real (lo que también responde a la pregunta que dejó abierta David). También se pueden tomar líneas, digamos, con un ángulo de 45 grados.