¿Prueba de que el espacio tangente es un espacio vectorial?
Comenzando con estas definiciones
Una curva en un colector$\mathcal M$ es un suave (es decir $C^{\infty}$) mapa $\sigma $ de algún intervalo abierto $(-\epsilon,\epsilon)$ de la línea real en $\mathcal M$
Dos curvas $\sigma_1$ y $\sigma_2$son tangentes en un punto $p$ en $\mathcal M$ si (a) $\sigma_1(0) = \sigma_2(0) = p$ y (b) en algún sistema de coordenadas local $(x^1,x^2,\ldots,x^m)$ alrededor $p$, dos curvas son tangentes en el sentido habitual como curvas en $\mathbb R^m$, $$ (x^i \circ \sigma_1)'(0) = (x^i \circ \sigma_2)'(0) $$ aquí, $i=1,\ldots,m$
El vector tangente se define como la clase de equivalencia de curvas en$\mathcal M$donde la relación de equivalencia entre dos curvas es que son tangentes en el punto $p$.
El espacio tangente es$T_p\mathcal M$ a $\mathcal M$ en el punto $p$es el conjunto de todos los vectores tangentes en el punto$p$
Estoy tratando de probar el espacio tangente en el punto $p$ en un colector $\mathcal M$ es un espacio vectorial.
Estoy empezando con $v_1 \in T_p\mathcal M$y $v_2 \in T_p\mathcal M$, y tengo las siguientes definiciones $$ v_1 + v_2 := [\phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )] \\ r \ v_1 := [\phi^{-1}\circ \ (r \phi\ \circ \sigma_1)]\ \forall r \in \mathbb R $$
Quiero mostrar eso $v_1 + v_2 \in T_p \mathcal M$ y $r \ v_1 \in T_p \mathcal M$
Como $v_1 ,v_2 \in T_p\mathcal M$, luego $$ \sigma_1(0) = \sigma_2(0) = p $$
Ahora para $v_1 + v_2$ ser un vector en $p$ , $\phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = p$ $$ \phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = \phi^{-1} \ (\phi\ ( \sigma_1(0)) + \phi\ (\sigma_2(0)) ) \\ = \phi^{-1}((\phi\ ( p) + \phi\ (p) )) \\ = \phi^{-1}( \ 2\phi\ ( p) ) \neq p $$
No puedo probar las relaciones de cierre a partir de las definiciones, ¿qué estoy haciendo mal?
Editar:
El libro que sigo es "Isham, Chris J. Geometría diferencial moderna para físicos. Vol. 61. World Scientific, 1999". , lleva una tabla especial$(U,\phi)$ tal que $\phi(p) = \mathbf 0 \in \mathcal M$, usando esta opción
$$ \phi^{-1}\circ \ (\phi\ \circ \sigma_1 + \phi\ \circ \sigma_2 )(0) = \phi^{-1}( \ 2\phi\ ( p) ) = \phi^{-1}(0) = p $$Entonces, el cierre está probado bajo adición. Pero esta tabla es una elección especial. Pero las definiciones son válidas para cualquier gráfico$p$, por lo que otra elección de gráficos debería dar el mismo resultado.
Respuestas
Vectores tangentes a $p \in M$ son clases de equivalencia de curvas suaves $\sigma : (-\epsilon,\epsilon) \to M$ tal que $\sigma(0) = p$ ("curvas suaves en $M$ mediante $p$"). Aquí $\epsilon = \epsilon (\sigma)$es un parámetro que puede variar de una curva a otra. La relación de equivalencia está dada por$\sigma_1 \sim \sigma_2$ Si $(\phi \sigma_1)'(0) = (\phi \sigma_2)'(0)$para alguna tabla$\phi$ alrededor $p$. Es fácil verificar que$\sigma_1 \sim \sigma_2$ si $(\phi \sigma_1)'(0) = (\phi \sigma_2)'(0)$para todos los gráficos$\phi$ alrededor $p$.
Dada una curva suave $\sigma : (-\epsilon,\epsilon) \to M$ mediante $p$, por supuesto puede definir $r \cdot \sigma : (-\epsilon/\lvert r \rvert,\epsilon/\lvert r \rvert) \to M, (r \cdot \sigma)(t) = \sigma (rt)$. Desafortunadamente, no existe una definición similar de$\sigma_1 + \sigma_2$ para curvas $\sigma_i$ en $M$ canal $p$. Intentas agregarlos a través de la definición$$\sigma_1 + \sigma_2 = \phi^{-1}(\phi\sigma_1 + \phi \sigma_2).$$ Esto aprovecha el hecho de que el gráfico $\phi : U \to V \subset \mathbb R^n$ tomar valores en $\mathbb R^n$, pero en general no funciona porque no puede estar seguro de que $\phi\sigma_1(t) + \phi \sigma_2(t) \in V$ para $\lvert t \rvert$suficientemente pequeño. Ni siquiera$\phi\sigma_1(0) + \phi \sigma_2(0) = \phi(p) + \phi(p) = 2\phi(p)$ está contenido en general en $V$.
La solución es considerar solo gráficos tales que $\phi(p) = 0$. Esto siempre se puede lograr si reemplazamos un gráfico arbitrario$\phi$ por $T\phi$ dónde $T$ es la traducción por $-\phi(p)$. Lo mismo vale para su definición de$r \cdot \sigma$.
Al hacerlo, verá que obtiene de hecho la estructura de un espacio vectorial en $T_p M$. Formalmente sugiero proceder de la siguiente manera:
Muestra esa $\phi_* : T_pM \to T_0V, \phi_*([\sigma]) = [\phi\sigma]$, es una biyección.
Muestra esa $T_0V$ se convierte en un espacio vectorial a través de $[\tau_1] + [\tau_2] = [\tau_1 + \tau_2]$ y $[r \cdot \tau] = [r \cdot \tau]$, dónde $(\tau_1 + \tau_2(t) = \tau_1(t)+ \tau_2(t)$ y $(r \cdot \tau)(t) = r \cdot \tau(t)$. Tenga en cuenta que siempre existe un intervalo máximo en el que$\tau_1(t)+ \tau_2(t) \in V$ y $r \cdot \tau(t) \in V$; tomamos estos intervalos como los dominios de$\tau_1 + \tau_2$ y $r \cdot \tau$. Entonces es fácil ver que el mapa$\mathbb R^n \to T_0V, v \mapsto \tau_v$ con $\tau_v(t) = tv$, da un isomorfismo de espacios vectoriales que muestra que $\dim T_0V = n$.
Observa eso $\phi_*$ induce una estructura única de un espacio vectorial en $T_pM$ tal que $\phi_*$ se convierte en un isomorfismo de espacios vectoriales.
A primera vista, parece que la estructura del espacio vectorial en $T_pM$ depende de la elección de $\phi$. Por tanto, el paso final será demostrar que dos gráficos cualesquiera$\phi_1, \phi_2$ alrededor $p$ con $\phi_i(p) = 0$ producir la misma estructura de espacio vectorial en $T_pM$.