Pruebalo $f(x) = 0$ para algunos $x$ bajo el supuesto de que existe una función continua $g$ tal que $f + g$ no es decreciente.

Question

Dejar $f(0) > 0$, $f(1) < 0$. Pruebalo$f(x) = 0$ para algunos $x$ bajo el supuesto de que existe una función continua $g$ tal que $f + g$ no es decreciente.

Una pista para este problema dice lo siguiente: bisecar el intervalo $[0,1]$ elegir el intervalo correcto del punto medio si hay $x$ en el intervalo correcto para el cual $f(y)\ge 0$. De lo contrario, elija el intervalo de la izquierda. Como tal formaras$[a_n, b_n]=I_n$ tal que $a_n, b_n \rightarrow c$. Resulta$c$es nuestro punto deseado. La sugerencia va más allá y establece que, 'observe que para todos$n$, hay $y_n \in [a_n, c]$ tal que $f(y_n)\ge 0$'. Aquí es donde estoy confundido. (Traté mucho de probarlo pero no pude) No quiero una prueba de esta declaración (si existe). Solo estoy buscando un control de cordura. ¿Podría el$[a_n, c]$ realmente ser $[a_n,b_n]$? ¿Fue solo un error tipográfico?

Answer 1

Dejar $n_m$ ser la subsecuencia (posiblemente finita) de modo que el $[a_{n_m},b_{n_m}]$son los intervalos de la izquierda. Mira eso$f(y) < 0$ para todos $y \in [b_{n_m}, b_{n_{m-1}}]$. De esta forma, debe darse el caso de que$f(y) < 0$ para todos $y \in \bigcup_m [b_{n_m}, b_{n_{m-1}}]$. Y$(c,1] \subseteq \bigcup_m [b_{n_m}, b_{n_{m-1}}]$.

Answer 2

Dejar $g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ ser una función continua tal que $h:=f+g$ es monótona aumentando en $[0,1]$. Observa que si$x\in(0,1)$, límite a la derecha $f(x+)=\lim_{t\rightarrow x+}f(t)=\lim_{t\rightarrow x+}h(t)-g(x)$existe. Del mismo modo, límite de la mano izquierda$f(x-)=\lim_{t\rightarrow x-}f(t)$ existe.

Dejar $A=\{x\in[0,1]\mid f(y)>0 \mbox{ for all } y\in[0,x]\}.$ Tenga en cuenta que $A\neq\emptyset$ (porque $0\in A$) y delimitado arriba por $1$, entonces $\xi=\sup A$existe. Vamos a demostrar que$\xi\notin A$por contradición. Supongamos lo contrario que$\xi\in A$, luego $f(\xi)>0$. Tenga en cuenta que$\xi<1$. Para cada$x\in(\xi,1]$, $x\notin A\Rightarrow\exists y\in(\xi,x]$ tal que $f(y)\leq0$. De donde podemos elegir una secuencia$(y_{n})$ en $(\xi,1]$ tal que $y_{1}>y_{2}>\ldots>\xi$ , $y_{n}\rightarrow\xi$y $f(y_{n})\leq0$. Dejando$n\rightarrow\infty$, tenemos $f(\xi+)\leq0$. Observa eso$0\leq h(\xi+)-h(\xi)=f(\xi+)-f(\xi)<0,$ lo cual es una contradicción.

$\xi\notin A$ implica que existe una secuencia $(x_{n})$ en $A$ tal que $x_{1}<x_{2}<\ldots<\xi$ y $x_{n}\rightarrow\xi$. Por lo tanto$f(\xi-)=\lim_{n}f(x_{n})\geq0$. Ahora,$0\leq h(\xi)-h(\xi-)=f(\xi)-f(\xi-)$, entonces $0\leq f(\xi-)\leq f(\xi)$. Finalmente, vamos a demostrar que$f(\xi)=0$. Demuestre por contradicción. Supongamos lo contrario que$f(\xi)>0$. Dejar$t\in[0,\xi)$ ser arbitrario, entonces $t$ no es un límite superior de $A$. Por tanto, existe$x\in A$ y $x>t$. En particular$f(t)>0$ por la propia definición de $A$ (porque $x\in A$ y $t\in[0,x]$). Por lo tanto, probamos que$f(t)>0$ para cada $t\in[0,\xi)$. Junto con el hecho de que$f(\xi)>0$, tenemos $\xi\in A$, lo cual es una contradicción.