¿Puede 1 kilogramo de material radiactivo con vida media de 5 años simplemente desintegrarse en el siguiente minuto?
Me preguntaba esto ya que mi maestra nos contó sobre la vida media de los materiales radiactivos en la escuela. Me parece intuitivo pensar de esta manera, pero me pregunto si hay una explicación más profunda que demuestre que estoy equivocado.
Cuando hay muchos átomos involucrados, la vida media puede mantenerse estadísticamente, pero dado que la descomposición de un átomo individual es completamente aleatoria y sin estado, ¿no pueden todos los átomos en un 1 kg de materia simplemente decidir descomponerse en el siguiente minuto, incluso si la probabilidad de este evento que ocurre es extremadamente pequeño?
Respuestas
La respuesta corta es sí . No importa cuántos átomos haya, siempre existe una posibilidad (a veces muy pequeña) de que todos ellos se desintegran en el siguiente minuto. La respuesta divertida es ver cuán pequeña se vuelve esta probabilidad para un gran número de átomos.
Tomemos yodo-131 , que elegí porque tiene una vida media razonable de alrededor de$8$ días = $\text{691,200}$segundos. Ahora$1$ kg de yodo-131 tendrá alrededor $7.63 \times N_A$ átomos en él, donde $N_A$es la constante de Avogadro. Usando la fórmula de probabilidad de la desintegración de un átomo en el tiempo$t$:
$$ P(t) = 1-\exp(-\lambda t), $$
y asumiendo que todas las desintegraciones son estadísticamente independientes$^\dagger$, la probabilidad de que todos los átomos se hayan desintegrado en un minuto es:
$$ (1-\exp(-\lambda \times 60\,\text{s}))^{7.63\times N_A} $$
dónde $\lambda$ es la constante de desintegración, igual a $\frac{\ln 2}{\text{half-life}}$, en este caso, casi exactamente $10^{-6}\,\text{s}^{–1}$. Entonces$$ P = (1-\exp(-6\times10^{-5}))^{7.63\times N_A} \\ \approx(6\times10^{-5})^{7.63\times N_A} \\ \approx (10^{-4.22})^{7.63\times N_A} \\ = 10^{-4.22\times7.63\times N_A} \\ \approx 10^{-1.94\times10^{25}} $$
(Elegí el yodo-131 como ejemplo concreto, pero prácticamente cualquier átomo radiactivo dará como resultado una probabilidad similar, sin importar cuál sea la masa o la vida media). Entonces, si realizó este experimento en $10^{1.94\times10^{25}}$tales configuraciones, esperaría que todos los átomos decaigan en una de las configuraciones, en promedio.
Para darle una idea de cuán incomprensiblemente grande es este número, hay "solo" $10^{78}$ átomos en el universo, eso es $1$ seguido por $78$ ceros. $10^{1.94\times10^{25}}$ es $1$seguido de más de mil millones de billones de ceros. Prefiero apostar por los caballos.
$^\dagger$ Este modelo de distribución de Poisson es una simplificación, pero quizás una aproximación burda en este escenario, ya que incluso pequeñas desviaciones de la independencia estadística pueden sumarse a grandes factores de supresión dado el número de átomos, y así $10^{1.94\times10^{25}}$ es ciertamente un límite superior (por supuesto, la aproximación está totalmente justificada si los átomos están separados hasta el infinito en $0 \text{ K}$, o sus productos de descomposición no tienen suficiente energía para producir más de un $1/N_A$- cambio de orden en la probabilidad de desintegración de otros átomos). Un análisis más detallado tendría que adaptarse específicamente al isótopo en consideración, o se podría hacer una aproximación de siguiente orden haciendo que la desintegración sea constante.$\lambda$una función estrictamente creciente del tiempo. Tenga la seguridad de que la probabilidad real, aunque es mucho más difícil de calcular que esta estimación del reverso del sobre, aún se encontrará con el territorio asombrosamente grande de$1$ en $1$ seguido de varios billones de ceros.
TLDR: los modelos estadísticos son modelos y, por tanto, por definición, no son un reflejo perfecto de la realidad.
La respuesta de Nihar es buena, pero la abordaré desde una dirección diferente.
En primer lugar, si solo nos fijamos en la mecánica estadística, puede ejecutar las matemáticas y, por supuesto, encontrará una probabilidad extremadamente pequeña. Puede que te detengas ahí. Pero la mecánica estadística usa modelos estadísticos y todos los modelos están equivocados. Hacen suposiciones y necesariamente simplifican la realidad para resolver problemas complicados. Muy bien podría haber algunos procesos físicos que no se tienen en cuenta en la mecánica estadística que niegan cualquier posibilidad de un deterioro tan rápido.
Un ejemplo clásico es tener una habitación y calcular la probabilidad de que todo el oxígeno de repente esté solo en la mitad de la habitación. Desde el punto de vista de la mecánica estática, es básicamente la probabilidad de lanzar una moneda justa una cantidad inimaginable de veces y que todas caigan de la misma manera. Pero en realidad, el número inimaginablemente pequeño que calcularía no sería correcto, porque las suposiciones hechas por su modelo no reflejarían perfectamente la realidad (las partículas interactúan entre sí, por ejemplo). Al igual que la ley de los gases ideales, estas cosas son útiles pero pueden fallar por completo si se desvía demasiado de las suposiciones hechas. Esto es cierto para todos los modelos estadísticos, por supuesto.
Entonces, si asumimos que el modelo estadístico de la vida media es una representación completamente precisa de la realidad, la respuesta a su pregunta es técnicamente sí. Por supuesto que sabemos que no lo es, así que eso me lleva al punto final.
También hay un gran componente filosófico en este tipo de preguntas, ya que estamos tratando con probabilidades que son tan pequeñas que son efectivamente 0.Si alguien lanza una moneda mil millones de veces y cae cruz cada vez, nadie va a pensar que es una moneda justa. , porque obviamente no es *. También puede considerar la criptografía de última generación. Las probabilidades de adivinar una clave al azar son tan bajas que para todos los efectos es 0. O imagine ver un video de un montón de vidrios rotos formando un jarrón. Su conclusión no sería 'veo termodinámica, no querría ser usted', sería 'estoy viendo un video de un jarrón rompiéndose al revés'. Sí, hay probabilidades técnicamente pequeñas asociadas con estos eventos, pero es tan pequeño que decir que son técnicamente posibles es más una declaración filosófica que cualquier otra cosa.
* La idea de una moneda justa es una madriguera por sí sola. ¿Cómo se determina que una moneda es justa? Lanzándolo un montón de veces y observando un número casi igual de cruces y caras. Si se desvía demasiado del 50/50, lo declaramos sesgado. Pero, por supuesto, no importa qué resultado observemos, siempre existe la posibilidad de que sea una moneda justa, por lo que técnicamente nunca podemos estar seguros. Entonces, para hacer uso de las estadísticas, debemos elegir arbitrariamente un punto de corte para la probabilidad aleatoria. Por lo general, esto es 2 sigma, quizás 3. El CERN usa 5 sigma para la detección de nuevas partículas, pero nuevamente, esto es arbitrario. La estadística aplicada es tanto un arte como una rama de las matemáticas.
Una cosa a tener en cuenta es que esta no es solo una cuestión de estadística y la analogía de los átomos que se descomponen y lanzan monedas puede ser engañosa.
Por ejemplo, el uranio 235 tiene una vida media de más de 700 millones de años, pero cuando se coloca en la configuración correcta (empaquetado cerrado) y en la cantidad correcta (por encima de la masa crítica), se desintegra prácticamente en un instante ... Simplemente porque uno la descomposición de un átomo puede provocar la descomposición de otro y así sucesivamente en una reacción en cadena.
Entonces, si puede asumir que todas las desintegraciones ocurren independientemente unas de otras, entonces las respuestas basadas puramente en estadísticas son válidas. Si se trata de más física que estadística, entonces depende del material exacto, es decir, de qué material es puro, en qué configuración, etc.
La respuesta es no'. Este 'no' está en el mismo nivel como:
- ¿Puede suceder que flote durante 15 minutos en el medio de su habitación? (La mecánica estadística dice técnicamente que sí, pero nuevamente con una probabilidad cero para todos los propósitos prácticos)
- ¿Puedes poner un mono delante de una máquina de escribir y sacar de ella las novelas de Shakespeare?
- ¿Puedes caminar a través de una pared sólida (probabilidad de túnel distinta de cero debido a la mecánica cuántica)?
Para que eso suceda en el mundo real , debe comenzar con aproximadamente 3.8 millones de kilogramos de ese material.
Así es como se le ocurrió ese número. Empiece por la fórmula que conecta la vida media con el número de partículas a lo largo del tiempo.
$$ N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}} $$
Ahora reemplazas $N(t)$ con lo que te gustaría tener $$ N_0 - 1~\text{kg} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}} $$ Y resuelves por $N_0$ $$ N_0 = \frac{1~\text{kg}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{t_{1/2}}}$$ En este punto es solo cuestión de conectar $t=60~\text{s}$ y $t_{1/2}=5~\text{y}$.
Veo que la gente en este sitio parece pensar que se pueden multiplicar números para obtener probabilidades y, por lo tanto, la respuesta es que la probabilidad es algo de orden. $10^{-10^{25}}$.
El problema con esto es que los eventos de desintegración no son eventos completamente independientes, por lo que este método de cálculo es incorrecto. Está bien como una primera aproximación muy MUY aproximada, y la respuesta ciertamente será un número pequeño, pero la respuesta no será este número diminuto en particular. Verás leyendo sobre por qué pongo el segundo "muy" en mayúsculas.
Hay efectos cooperativos en toda la física. Por ejemplo, en el sólido en descomposición, las partículas emitidas por cualquier núcleo perturbarán a los demás. Este es un efecto mínimo, pero cuando consideramos eventos de probabilidad mínima tenemos que pensar en efectos tan pequeños. Otro factor es el campo electromagnético circundante, que puede estar en un estado térmico, pero incluso en su estado de vacío produce efectos correlacionados en toda la muestra. Los campos electromagnéticos casi no tienen ningún efecto sobre la desintegración radiactiva, pero cualquier cosa que pueda afectar a todos los núcleos a la vez tendrá una influencia no despreciable en comparación con los pequeños números que surgen de cualquier suposición de que todos los núcleos se comportan de forma independiente.
Tengamos una idea aproximada de la influencia de estos efectos cooperativos. Xa$n$ eventos independientes, cada uno de probabilidad $p_0$, la probabilidad general es $p_0^n$. Pero suponga que si ocurre un evento, entonces la probabilidad de los otros aumenta un poquito, de$p_0$ a $p_1 = p_0(1 + \epsilon)$ para algunos muy pequeños $\epsilon$. Si esos eventos adicionales fueran independientes, entonces ahora la probabilidad general es de orden$p_0 p_1^{n-1}$. Esto es más grande que$p_0^n$ por la razón $$ \frac{p_0 (p_0 + \epsilon p_0)^{n-1}}{p_0^n} = (1 + \epsilon)^{n-1} $$ Con $n$ del orden del número de Avogadro, puede ver que los valores de $\epsilon$ de la Orden de $1/N_A$ sería suficiente para introducir un aumento no despreciable en la probabilidad general, donde por "no despreciable" quiero decir "por un factor de orden $1$". Pero la probabilidad general sigue siendo pequeña.
Ese fue solo un átomo que influyó en los demás. Si cada uno tiene ese tipo de efecto, entonces uno obtiene el$(1 + \epsilon)$ factor elevado a una potencia de orden $N_A^2$. Entonces, por este tipo de argumento, el número$10^{-10^{25}}$ con el que comencé está mal por un factor que fácilmente podría ser tan grande como $2^{N_A}$. No estoy tratando de expresar la imprecisión con cuidado. Solo digo que el cálculo basado en$N_A$ Los procesos independientes dan una respuesta final que es errónea por un factor enorme.
Consideremos a continuación algún tipo de efecto cooperativo como una fluctuación en el campo electromagnético suficiente para estimular todos los núcleos, suficiente para hacerlos pasar por encima de la barrera de energía para que el electrón o la partícula alfa o lo que sea pueda escapar. Para perturbar los núcleos se necesitan energías de orden megaelectronvoltio, mientras que a temperatura ambiente la radiación térmica tiene fotones de energías de orden$k_B T \simeq 0.026$eV. Pero si confiamos en el factor de Boltzmann, entonces podríamos estimar aproximadamente una probabilidad de$\exp(-E/k_B T)$ obtener una excitación de un modo de energía $E$. Con$E = 1$ MeV que da $\exp(-4 \times 10^7)$a temperatura ambiente. Con "todos estos" fotones de rayos gamma alrededor, el proceso de desintegración radiactiva sucederá de manera ligeramente diferente. Por supuesto, esta probabilidad es nuevamente pequeña, pero es mucho mayor que$10^{-10^{25}}$, por lo que debe tenerse en cuenta antes de anunciar que ese último número está incluso cerca de la derecha. Esto se debe a que incluso la menor cantidad de cualquier tipo de correlación o efecto cooperativo será suficiente para superar la probabilidad de múltiples eventos independientes.
Se podría estimar el efecto de estos rayos gamma térmicos averiguando la sección transversal de la desintegración estimulada por rayos gamma y haciendo un cálculo de dispersión. No sé la respuesta, pero será enorme en comparación con$10^{-10^{25}}$.
En resumen, la respuesta corta a la pregunta planteada originalmente es "no, eso no puede suceder". La respuesta más larga admite entonces que la física sugiere que hay una probabilidad muy muy pequeña distinta de cero de que suceda, al igual que ocurre con otros sucesos extraños. Para el valor de la probabilidad, ningún cálculo rápido puede acercarse siquiera al orden correcto de magnitud. Para estimarlo, primero se hace el cálculo de la desintegración independiente para asegurarse de que esa no es la ruta más probable por la que podría suceder. Entonces uno se queda con el problema mucho más difícil de pensar qué tipo de efectos físicos pueden causar la descomposición de varios núcleos a la vez y estimarlos. Creo que la respuesta debe ser pequeña en comparación con ese número.$\exp(-4 \times 10^7)$que mencioné anteriormente, pero tengo poca idea de cuál es realmente la probabilidad. Tal vez tan bajo como$10^{-10^{10}}$?
Quizás sea valioso volver a enfatizar el punto que estoy planteando. Cuando calculamos escenarios físicos más ordinarios, como un cuerpo que se desliza por una pendiente o un péndulo o un átomo, etc., ignoramos correctamente cualquier efecto insignificante, como la atracción gravitacional a planetas a años luz de distancia u otras cosas similares, y nos enfocamos en el principal contribución. De manera similar, en el caso presente, un enfoque correcto simplemente reconocerá como insignificante la contribución a la probabilidad debido a que todos los núcleos simplemente decaen en el mismo minuto, y se centrará en las probabilidades mucho mayores asociadas con otras formas en las que el el resultado puede suceder. Un cálculo que no haga esto es, simplemente, incorrecto. Es como afirmar que un tiempo es del orden de 1 femtosegundo cuando en realidad es del orden de 1 petasegundo. Eso no se consideraría una estimación razonable, sino simplemente errónea, y por un factor vergonzosamente grande.
Si queremos comprender lo que sucede en los procesos del mundo real, a diferencia de los modelos idealizados, entonces los procesos del mundo real son en lo que tenemos que pensar.
Finalmente, quiero volver a enfatizar que los efectos que he mencionado son, de hecho, extremadamente pequeños. Pero en comparación con$10^{-10^{25}}$ son enormes.
@Nihar tiene una excelente respuesta: es posible, pero con una probabilidad de 1 en $10^{1.94\times10^{25}}$
Ese es un número realmente grande. Cuando utiliza exponentes que deben representarse con sus propios exponentes, a veces puede resultar difícil pensar en lo que realmente significan. para alguna perspectiva:
- Hay cerca de $5\times10^{19}$ átomos en un grano de arena
- Hay cerca de $8\times10^{18}$ granos de arena en el mundo
- Eso es sobre $4\times10^{38}$ átomos en toda la arena del mundo
- Hay cerca de $1.33\times10^{50}$ átomos de todo tipo en el mundo
- Hay cerca de $10^{56}$ átomos en el sistema solar
- Hay entre $10^{78}$ y $10^{82}$ átomos en el universo
Usando la mayor estimación de $1\times10^{82}$átomos en el universo, hemos pasado solo de un exponente de 19 a 82 comparando un grano de arena y el universo entero. Este exponente es 1.940.000.000.000.000.000.000.000.000.
¿Cuántas pruebas tendríamos que hacer para tener una probabilidad razonable de que esto suceda? La fórmula para calcular las probabilidades de que ocurra un evento aleatorio al menos una vez es$1-(1-P)^y$ donde P es la probabilidad $1/{10^{1.94\times10^{25}}}$. No pude encontrar ninguna aplicación que ofreciera resultados sensatos dados valores grandes para y, pero si y = P, entonces las probabilidades se acercan${-(1-e)}/e$a medida que P crece. Eso es aproximadamente el 63,2%. Así que si lo hacemos$10^{1.94\times10^{25}}$ ensayos, hay alrededor de un 63,2% de posibilidades de que suceda al menos una vez y alrededor de un 37,8% de posibilidades de que no suceda en absoluto.
Entonces, ¿cómo podemos imaginarnos haciendo $10^{1.94\times10^{25}}$ juicios?
Si tomamos todos los átomos del universo y los cambiamos todos en paquetes separados de 1 kg de yodo-131, tendríamos aproximadamente $2.2\times10^{57}$de ellos. Repartidos sobre el volumen del universo visible ($3.57\times10^{80} m^3$), eso es un paquete cada $1.6\times10^{23}$metros cúbicos, es un cubo de 57.000 kilómetros por lado con un paquete de 1 kg de yodo-133 en el centro. La edad del universo se estima en 13.772 millones de años, eso es aproximadamente$7.24\times10^{15}$minutos. Si tomamos todos esos paquetes de yodo-133 y volvemos a ejecutar nuestro experimento cada minuto (convirtiendo los átomos descompuestos en yodo-131 para cada prueba) desde el Big Bang hasta ahora, eso es aproximadamente$1.6\times10^{73}$ ensayos individuales.
Ese exponente de 73 no está cerca del exponente que necesitamos para lograr un 63.2% de probabilidad de que suceda. Tendría que haber unos$2.66\times10^{23}$ universos de átomos convertidos en yodo-131 que repiten el experimento cada minuto durante 13.777 millones de años para tener un 63,2% de posibilidades de que suceda al menos una vez.
Para comprender esto, debe ver qué desencadena una desintegración nuclear. La respuesta es un hermoso ejemplo de comportamiento mecánico cuántico. Nada lo desencadena. Es solo que el mundo es fundamentalmente mecánico cuántico y probabilístico.
Todas las otras respuestas que "no, no hay un evento desencadenante, simplemente sucede, la mecánica cuántica es así" son perfectamente correctas.
¿Qué sucede antes de que un elemento radiactivo se desintegra?
Todo lo que puede hacer es calcular las probabilidades.
Entonces, la respuesta a su pregunta es que sí, hay una probabilidad distinta de cero de que el material se descomponga en el próximo minuto.
Pero su pregunta es más sobre si existe la posibilidad de que todos los átomos del material se desintegran simultáneamente en el próximo minuto. Y la respuesta es nuevamente sí, hay una probabilidad distinta de cero para que eso suceda, pero simplemente sucede que la probabilidad es tan pequeña, que incluso en escalas de tiempo gigantes como la edad de nuestro universo, hay muy poca probabilidad para nosotros. para observar que suceda.