¿Qué es la cremallera?

Question

1. Definición de un "TFT abierto-cerrado"
Considere la siguiente categoría de cobordismos abierto-cerrado$Cob_2^{o/c}$:

• Los objetos son variedades unidimensionales lisas y orientadas compactas, posiblemente con límites (es decir, uniones difeomórficas a disjuntas de círculos orientados e intervalos orientados).
• Los morfismos son clases de equivalencia de bordismos. Aquí un bordismo$B:M \rightarrow N$ es un colector bidimensional de orientación suave $B$ junto con una orientación que conserva un mapa suave (no necesariamente sobreyectivo) $\phi_B: \overline M \coprod N \rightarrow \partial B$ eso es un difeomorfismo a su imagen.

Se puede definir una clase de equivalencia en estos bordismos, una composición de morfismos, una estructura monoidal, etc. para hacer $Cob_2^{o/c}$ en una categoría monoidal.

Un TFT abierto-cerrado se define como un functor monoidal simétrico$$Z: Cob_2^{o/c} \rightarrow vect(\mathbb k).$$

Veamos ahora el círculo (orientado) $S^1$ y el intervalo (orientado) $[0,1]$. Consideramos los espacios vectoriales$Z(S^1)$ y $Z([0,1]).$

2. Pregunta
Mis notas de clase dicen lo siguiente:

La cremallera da un mapa lineal. $i_*: Z(S^1) \rightarrow Z([0,1]).$

• ¿Cómo se define la cremallera ? Supongo que es un bordismo$S^1 \rightarrow [0,1]$?

Answer 1

Lo ideal sería preguntarle a quien haya escrito esas notas de clase; es un poco negligente por su parte no incluir una imagen o algo así.

Esta es mi suposición, esto se siente como el cobordismo más "obvio" $S^1 \to [0, 1]$: comienza con un cilindro (el cobordismo de identidad $S^1 \to S^1$) y apriete un extremo para cerrarlo. (Así que es como un bolso con cremallera, supongo).