¿Qué se puede decir sobre la suma de las series?

Aug 15 2020

Dejar $\{a_n \}_{n \geq 1}$ ser una secuencia de enteros distintos de cero que satisfaga

YO. $|a_n| \lt |a_{n+1}|,$ para todos $ n \geq 1$

II. $a_n$ divide $a_{n+1},$ para todos $n \geq 1$ y

III. cada entero es un divisor de algún$a_n.$

Luego $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {1} {a_n}$ es

(a) absolutamente convergente y su suma es un número racional.

(b) absolutamente convergente y su suma es un número irracional.

(c) absolutamente convergente y su suma es un número positivo.

(re. Ninguna de las anteriores.

Mi intento $:$ Es fácil ver eso $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {1} {a_n}$es absolutamente convergente. Dejar$a_{k+1} = m_k\ a_{k},$ para $k \geq 1.$ Por (yo) se sigue que $|m_k| \geq 2,$ para todos $k \geq 1.$ Entonces tenemos

\begin{align*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {1} {|a_n|} & = \frac {1} {|a_1|} + \frac {1} {|a_2|} + \frac {1} {|a_3|} + \cdots \\ & = \frac {1} {|a_1|} + \frac {1} {|m_1|\ |a_1|} + \frac {1} {|m_2|\ |a_2|} + \cdots \\ & = \frac {1} {|a_1|} + \frac {1} {|m_1|\ |a_1|} + \frac {1} {|m_1|\ |m_2|\ |a_2|} + \cdots \\ & \leq \frac {1} {|a_1|} \left ( 1 + \frac {1} {2} + \frac {1} {2^2} + \cdots \right ) \\ & = \frac {2} {|a_1|} < \infty \end{align*}

Entonces $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {1} {a_n}$es absolutamente convergente. Claramente (a) es falso porque podemos tomar$a_n = n!,$ para todos $n \geq 1.$ Entonces la suma es $e-1,$lo cual es claramente irracional. Bien puedo tomar$a_n = -n!,$ para todos $n \geq 1.$ Que hace la suma $1-e,$una cantidad negativa. Por tanto, (c) también es falso. Pero, ¿cómo puedo concluir si la suma es siempre irracional o no? Cualquier ayuda en este asunto será muy apreciada.

Gracias por adelantado.

Respuestas

6 StephenMontgomery-Smith Aug 15 2020 at 19:45

Dejar $$ R_m = \sum_{n > m} \frac 1{a_n} .$$

Lema: $0 < \displaystyle |R_m| < \frac1{|a_m|} .$

Prueba: dejar $r \ne 2$ ser un número primo que no es un factor de $a_{m}$. Entonces existe$m' > m$ tal que $r | a_{m'}$. Así para$n > m$ tenemos $|a_n| \ge 2^{n-m} |a_m|$, y para $n \ge m'$ tenemos $|a_n| \ge r 2^{n-m-1} |a_m|$. Así$$|R_m| \le \sum_{n > m} \left|\frac {1}{a_n} \right| \le \frac1{|a_{m}|}\left(\sum_{n=m+1}^{m'-1} 2^{m-n} + \frac 2 r \sum_{n=m'}^\infty 2^{m-n}\right) < \frac1{|a_m|}.$$ Para el límite inferior, $R_m = \frac1{a_m} + R_{m+1}$, entonces $$|R_m| = \frac1{|a_m|} - |R_{m+1}| \ge \frac1{|a_m|} - \frac1{|a_{m+1}|} > 0 .$$

$\square$

Suponer $$S = \sum_n \frac1{a_n} = \frac pq $$ dónde $p,q \ne 0$ son enteros.

Para algunos $m$, tenemos $q | a_m$. Luego$a_m S = \text{integer} + a_m R_m$es un número entero. Desde el Lema, vemos que$0 < |a_m R_m| < 1$. Entonces$a_m R_m$ no puede ser un número entero, por lo que $S$ no puede ser racional.