¿Qué significa equiparar los coeficientes de términos semejantes al resolver A y B en fracciones parciales?
Estoy tratando de resolver por mí mismo fracciones parciales en un libro del año 10 de Cambridge. Este es un concepto que están introduciendo temprano para los estudiantes que quieren desafiarse a sí mismos y la explicación es bastante ligera.
Por ejemplo: 7 / (x + 2) (2x-3) = A / 2x-3 + B / x + 2. Entiendo cómo trabajar esto hasta el punto en que llego a 7 = x (A + 2B) + 2A − 3B. A partir de ahí, he leído que necesito hacer algo llamado "igualar coeficientes. Los coeficientes cerca de los términos semejantes deben ser iguales, por lo que se obtiene el siguiente sistema: A + 2B = 0 2A − 3B = 7.
Pero no entiendo POR QUÉ o cómo es válido que establezcamos estas partes de la ecuación en estos valores. ¿Por qué no A + 2B = 7 2A − 3B = 0, por ejemplo? Intenté mirar YouTube y preguntarle a mis amigos, pero parece que no puedo entenderlo.
Puedo hacerlo y puedo resolver A y B usando este método. Pero realmente estoy luchando por entender qué es lo que estoy haciendo en ese punto del proceso. La frase que sigue apareciendo cuando miro esto es "podemos equiparar los coeficientes de términos semejantes". Por ejemplo, en la página de wikipedia sobre descomposición de fracciones , dice "Igualar los coeficientes de xy los coeficientes constantes (con respecto a x) de ambos lados de esta ecuación ...". Segundo ejemplo: dice "Los coeficientes cerca de los términos semejantes deben ser iguales, por lo que se obtiene el siguiente sistema:" en la página emathhelp cuando ingreso la ecuación 7 / (x + 2) (2x-3).
Respuestas
Creo que está un poco confundido acerca de los pasos de este problema. Tenga en cuenta que, después de multiplicar ambos lados por el denominador, debe intentar resolver la ecuación resultante, en este caso$$7 = x(A+2B) + 2A - 3B.$$ Los términos semejantes son los coeficientes de potencias idénticas de$x$. Observa eso$7 = 0x + 7$. ¿Puedes ver la similitud ahora? Tenido$(A+2B)$ha sido todo menos $0$, tendrías un valor distinto de cero $ax$término en el lado izquierdo de la ecuación anterior. La misma lógica se aplica a$(2A-3B)$.
Entonces realmente terminas con $$A+2B = 0 \\ 2A - 3B = 7$$ que, cuando se resuelve simultáneamente, da $A= 2$, $B = -1$.
Suponga que estaba trabajando con
$$ax+b=3x+2.$$
Queremos decir que esto es válido para cualquier $x$. Entonces, en particular, podríamos escribir
$$x=0\to b=2,\\x=1\to a+b=5,\\ x=-1\to -a+b=-1,\\ x=2\to 2a+b=8,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=5000\to 5000a+b=1502,\\\cdots$$
Este es un sistema de dos incógnitas e infinitas ecuaciones. Pero resulta que si resuelves un número mínimo de ecuaciones (con las dos primeras,$a=3, b=2$), la solución es válida para todas las ecuaciones, porque las expresiones simbólicas son completamente equivalentes.
Lo mismo vale para las fracciones racionales o cualquier tipo de identificación.