¿Qué significado debo asignar a "asignar"?
Desde hace unos días, he estado trabajando con el Esquema de topología general de Schaum por Seymour Lipschutz. Hasta ahora he estado estudiando los primeros capítulos sobre conjuntos y funciones para revisar, y para asegurarme de que conozco su notación.
Mi pregunta es de naturaleza más filosófica, y tal vez le parezca "tonta", pero la plantearé de todos modos y ¡me encantaría escuchar sus pensamientos!
En el capítulo 2, define una función de esta manera (más bien verbalmente):
Supongamos que para cada elemento de un conjunto $A$se le asigna un elemento único de un conjunto$B$; la colección,$f$, de tales asignaciones se llama una función de$A$ dentro $B$ ... (p.17, énfasis agregado)
Muy estándar, supongo, pero lo que me llamó la atención fue la palabra asignar . ¿Qué significa realmente "asignar" algo a otra cosa? ¿Dónde (es decir, en qué tipo de conjunto) se almacena esta asignación?
Mi intuición sobre la asignación fue (y sigue siendo) que es simplemente un par de elementos; es decir, una asignación de elementos$a \in A$ a $b \in B$ es simplemente un subconjunto de $A \times B$. Sin embargo, el problema (filosófico) proviene de la siguiente declaración de Lipschutz:
A cada función $f: A \rightarrow B$no corresponde la relación en$A \times B$ dada por $$\{ ( a,f(a) ) \vert a \in A\}.$$ (p.17, énfasis agregado)
Así, a la función le corresponde una relación, es decir, la función y la relación se ven como objetos diferentes. Entonces, el problema se barre metafóricamente debajo de la alfombra al no "distinguir entre una función y su gráfico". Interpreto esto con un poco de colorido como "son diferentes, pero se supone que no debemos hacer preguntas al respecto".
Recuerdo cuando estudié mi primer curso de álgebra, luego una función $f: A \rightarrow B$ de hecho se definió como un caso especial de una relación, es decir, como un subconjunto de $A \times B$. Nunca pensé mucho en eso entonces, pero ahora veo que hacerlo de esta manera evita cualquier referencia a alguna "asignación" y sabemos exactamente en qué conjunto "vive" la función -$A \times B$, por lo que no tenemos que pensar en dónde se "almacena" la "asignación". Pero al hacer una diferencia entre la función y la relación (aunque hay un mapa entre ellas, que es mi interpretación de "corresponde") surge la pregunta (filosófica) de la naturaleza de esta "asignación" (al menos en mi mente) .
Supongo que otra forma de expresar lo que estoy pensando es que, en mi mente, la "asignación" se realiza mediante un mapa, o función, entre conjuntos; pero ¿qué significa entonces definir funciones en términos de alguna operación de "asignación"?
¡Me disculpo de antemano por tomarse su tiempo con esto! (Me siento tan estúpido por pensar en este tipo de cosas en lugar de trabajar con los problemas de topología ...). Pero me pregunto si existe alguna definición o noción de lo que significa "asignación" en este contexto. ¿O tal vez es solo un lenguaje en el que no deberíamos pensar más? ¿O quizás hay algo que me he perdido, no ser un hablante nativo de inglés?
Si tiene alguna idea, me encantaría escucharla :)
Respuestas
Hay algunas formas de definir formalmente funciones y algunas formas de pensar en la asignación. Pero lo mejor para el autor de un libro de texto es no tomar partido cuando no es relevante para lo que planean hacer con las funciones.
Definiciones
En general, se acepta que el "gráfico" de una función $f:A\to B$ es el subconjunto de $A\times B$ que podrías escribir como $\left\{\left(a,f(a)\right)\left|a\in A\right.\right\}$. Hay varias notaciones para esto, pero usaré$G(f)$ para la gráfica de $f$.
Algunos textos dirán que una función es su gráfica. Esto encaja bien con una discusión de relaciones (por ejemplo, algunas relaciones son funciones y otras no). Esto significa que no puede derivar el codominio deseado (el conjunto$B$) en "$f:A\to B$"de una función, de modo que si una función es sobre / sobreyectiva no es una propiedad inherente de la función, sino una propiedad de la función y cualquier objetivo / codominio que se haya mencionado en un contexto determinado, juntos. En la práctica, eso suele estar bien ; pero si quiere hablar de dos funciones que son iguales o no, es posible que no desee seguir ese camino.
Otros textos incluirán el dominio y el codominio con el gráfico como parte de los datos de la función. Entonces una función$f$ sería algo así como el triple ordenado $\left(A,B,G(f)\right)$. De esta manera, la función es sobreyectiva o no lo es. Y las funciones con diferentes coddominios son definitivamente objetos diferentes.
Casi ningún texto hará esto, pero dado que puede recuperar el dominio del gráfico (la forma exacta en que lo haría depende de cómo configure sus pares en la teoría de conjuntos), puede descartar el dominio y decir que una función es $(G(f),B)$ o similar.
Asignación
Ya sea que el dominio y el codominio estén empaquetados con el gráfico o no, la "asignación" de salidas a las entradas en este tipo de contexto generalmente solo significa que el gráfico existe, como un conjunto. Cada primera coordenada se "asigna" a la segunda coordenada correspondiente.
Pero es posible que esté pensando en una regla para calcular la salida a partir de la entrada o en un hecho lógico que describa ordenadamente todo el gráfico. Si usted / alguien está pensando en ese tipo de cosas, entonces no está pensando en todas las funciones, sino quizás en algo como " funciones computables " o " funciones construibles " o " funciones definibles ".