Si $\{a_n\}$ es una secuencia positiva y $b_n := a_1/a_2 + \dotsb + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1$, luego muestra eso $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$.
Dejar $a_n$ ser una secuencia positiva.
Definimos $b_n$ como sigue:
$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$
Pregunta: Demuestre que$\lim b_n=\infty$.
Mi solución sugerida: pude demostrar lo contrario (que el límite no es infinito), ¿me pueden mostrar qué hice mal?
Yo tomé $a_n$ como sigue: $1,1,2,8,64,1024,\dots$ Luego $b_n$ es: $$1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dotsb + a_n.$$ Los primeros elementos excepto el último son la suma de una progresión geométrica que converge a $2$ cuando $n$ se vuelve demasiado grande, por lo que el límite general es $2+a_n$ que no es infinito seguro ...
Respuestas
En su contraejemplo, algo no funciona, de hecho, está asumiendo
$$\large {a_n=2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}}\to \infty$$
y por lo tanto
$$b_n= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} + a_n\ge a_n \to \infty$$
Para probar eso $b_n \to \infty$, por AM-GM tenemos eso
$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \ge n \sqrt[n]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n-1}}{a_n} \cdot \frac{a_n}{a_1}}=n\cdot 1=n\to \infty$$
luego concluya con el teorema de la compresión.
Podemos escribir
$$b_n=c_1+c_2+c_3+\cdots c_{n-1}+\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}$$ donde el $c_k$ son números positivos.
El valor mínimo de $b_n$ se encuentra cancelando el gradiente,
$$\forall k:1-\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}c_k}=0$$ o $$c_k=\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}=\frac1p.$$
La solucion es $p=c_k=1$ y $b_n=n$ es la suma más pequeña posible, según lo encontrado independientemente por @user.