Si dos variables aleatorias $X_1$ y $X_2$ son dependientes entonces deben $X_1^2$ y $X_2^2$ ser dependiente?

Aug 15 2020

Si dos variables aleatorias $X_1$ y $X_2$ son dependientes entonces $X_1^2$ y $X_2^2$ ser dependiente.

Creo que esta afirmación es falsa. Teniendo en cuenta que$X_1$ y $X_2$ ser dependiente implica

$\sigma(X_1)$ depende de $\sigma(X_2)$ que son las álgebras sigma generadas por cada rv son dependientes, pero como $\sigma(X_1^2)\subset \sigma(X_1)$ y $\sigma(X_2^2)\subset \sigma(X_2)$ la reducción podría conducir potencialmente a álgebras sigma independientes.

El contraejemplo que se me ocurrió es

dejar:

$X_1\sim \text{Unif}(0,1)$ y $$ X_2|X_1 = \begin{cases} 1 & X_1\in[0,\frac{1}{2})\\ -1 & X_1\in[\frac{1}{2},1]\\ \end{cases}$$

Tenga en cuenta que estas dos variables aleatorias son altamente dependientes, pero cuando cuadro ambas $X_1\sim \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ y $X_1|X_1=1$por tanto, las dos variables aleatorias al cuadrado son independientes. ¿Es este contraejemplo un sonido?

Respuestas

3 Henry Aug 16 2020 at 02:51

Tu contraejemplo funciona, pensó desde tu $X_2^2$ es constante no es muy revelador, ya que es independiente de todo

Otro podría ser tener $A$ y $B$ independiente estándar normal (media $0$, varianza $1$) y

$X_1=A$ mientras $X_2=\text{sign}(A)\, |B|$.

Entonces $X_1$ y $X_2$ son distribuciones normales positivamente correlacionadas mientras $X_1^2$ y $X_2^2$ son distribuciones chi-cuadrado independientes