Si $fg$ es continuo en $a$ entonces $g$ es continuo en $a$.
Suponer que $f$ y $g$ están definidos y valorados finitos en un intervalo abierto $I$ que contiene $a$, ese $f$ es continuo en $a$, y eso $f(a) \neq 0$. Si$fg$ es continuo en $a$ entonces $g$ es continuo en $a$.
$\underline{Attempt}$
Ya que $f$ es continuo en $a$ y $fg$ continuo en $a$,
$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) \text{ and } \lim_{x\to a}f(x)g(x)=f(a)g(a)$$
entonces
$$\lim_{x\to a} {f(x)g(x)} = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a}g(x)=f(a)\lim_{x\to a}g(x)=f(a)g(a)$$
ya que $f(a) \neq0$
$$\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$$
$\therefore g$ es continuo en $a$
Respuestas
Tu prueba no es correcta. Estás asumiendo la existencia de$\lim_{ x \to a} g(x)$pero tienes que probar la existencia de este límite. Escribir$g(x)$ como $\frac 1 {f{(x)}} {g(x)f(x)}$ observando eso $f(x) \neq 0$ Si $|x-a| $es lo suficientemente pequeño. Ahora puedes ver que el límite existe e igual$\frac {f(a)g(a)} {f(a)}=g(a)$.
[Existe $\delta >0$ tal que $|x-a| <\delta$ implica $|f(x)-f(a)| <\frac {|f(a)|} 2$. Entonces$|x-a| <\delta$ implica $|f(x)| >|f(a)| -\frac {|f(a)|} 2=\frac {|f(a)|} 2>0$ y entonces $f(x) \neq 0$].