Si$G=AB$es un st de factorización$q\not\mid |A|$dónde$q$es primo, entonces para$g\in G,a\in A$, hay un único$x_1\in A$S t$\alpha(gx_1^q)=a$.

Question

Dejar$G$ser un grupo abeliano y$A,B$ser subconjuntos de$G$.
Suponer$AB$es una factorización de$G$, es decir, cada$g\in G$puede escribirse únicamente en la forma$ab$dónde$a\in A$y$b\in B$. Aquí$a$se llama el$A$-parte de$g$y denotado por$\alpha(g)$.
Dejar$q$sea ​​un primo tal que$q\not\mid |A|$.

Elige un$a\in A,g\in G$y definir$T$ser el conjunto de todos$q$tuplas$$(x_1,\dots,x_q) \text{ where } x_1,\dots,x_q\in A$$para cual$$\alpha(gx_1\dots x_q)=a.$$Usando el hecho de que$|T|=|A|^{q-1}$y acción de grupo (permutación cíclica), se puede demostrar que hay una$x_1\in A$tal que$\alpha(gx_1^q)=a$. Lo que quiero mostrar aquí es que$x_1$está determinada únicamente por$a$y$g$.

Dejar$x_1,x_2\in A$tal que$\alpha(gx_1^q)=a=\alpha(gx_2^q)$. quiero mostrar eso$x_1=x_2$. Allí existe$b_1,b_2\in B$tal que$gx_1^q=ab_1$y$gx_2^q=ab_2$. entonces obtengo$(x_1x_2^{-1})^q=b_1b_2^{-1}$. Necesito alguna idea o sugerencia para completar la demostración.

Answer 1

Como se explica en mi comentario, si$A$es finito, entonces el principio del casillero junto con su prueba elegante (+1) de que el mapa$A\to A$enviando$x\mapsto \alpha(gx^q)$es sobreyectiva, implica que también es inyectiva.

Por otro lado si$A$es infinito tenemos el siguiente contraejemplo:

Dejar$G=\mathbb{Z}$y$$A=\{6n,6n+1,6n+2| n\in \mathbb{Z}\},\qquad B=\{0,3\}$$Dejar$q=3$(Estoy ignorando la condición$q\not\!||A|$cuando$A$infinito, ya que no está claro lo que significa).

Entonces el mapa$x\mapsto \alpha(0+3x)$no es ni inyectiva ni sobreyectiva: \begin{eqnarray}0&\mapsto&0,\\1&\mapsto&0,\end{eqnarray} y$3x\neq1,4 \implies \alpha(0+3x)\neq 1$.