Sobre la regularidad de las ecuaciones hiperbólicas
En mi clase de PDE estamos siguiendo el libro de Evans PDE, estábamos leyendo sobre Regularidad de soluciones débiles para ecuaciones hiperbólicas, más específico en el teorema de prueba 5 sección 7.2.3., el autor afirma que tenemos
\begin{ecuación} \frac{d}{dt}(\|\tilde{u}_m^{'}\|_{L^2(U)}^2+A[\tilde{u}_m,\ tilde{u}_m])\leq C(\|\tilde{u}_m^{'}\|_{L^2(U)}^2+A[\tilde{u}_m,\tilde{u }_m]+\|f^{'}\|_{L^{2}(U)}^2) \end{ecuación} donde$\tilde{u}_m=u_m^{'}$, también la estimación \begin{ecuación} \|u_m\|_{H^2(U)}^2\leq C(\|f\|_{L^2(U)}^2 +\|u_m^ {''}\|_{L^2(U)}^2+\|u_m\|_{L^2(U)}^2) \end{ecuación} Evans dice que usar esta última desigualdad en la primera y aplicando la Desigualdad de Gronwall deducimos que \begin{ecuación} \sup_{0\leq t\leq T}(\|u_m(t)\|_{H^2(U)}^2+\|u_m^{' }(t)\|_{H^1(U)}^2+\|u_m^{''}(t)\|_{L^2(U)}^2)\leq C(\|f \|_{H^1(0,T;L^2(U))}^2+\|g\|_{H^2(U)}^2+\|h\|_{H^1 (U)}^2) \end{ecuación} Mi problema es que no entiendo cómo se obtiene esta última expresión, ¿alguien puede ayudarme?
Editar: estamos buscando la regularidad de las soluciones débiles de la PDE \begin{equation} \begin{array}[rcl] fu_{tt}+Lu&=f& \text{in } U_{T},\\ &u=0&\ texto{en } \U parcial\times[0,T],\\ &u(0)=g&\text{en } U\times\{t=0\}\\ &u^{'}(0)=h& \text{in} U\times\{t=0\}\\ \end{array} \end{equation} sabemos que si$f\in L^2(0,T;L^(U))$,$g\in H_0^1(U)$y$h\in L^2(U)$existe una solución débil de esta PDE, por regularidad estamos asumiendo que$f,g$y$h$están en sus espacios respectivamente y además$f^{'}\in L^2(0,T;L^2)$,$g\in H^2(U)$y$h\in H_0^1(U)$. Espero que esto aclare mi pregunta.
Respuestas
Estoy dejando caer el subíndice$m$que se utiliza para indicar soluciones aproximadas.
La primera desigualdad (con la derivada temporal a la izquierda) proviene de considerar la pde que se satisface por$\tilde u = u'$y aplicando la estimación habitual de energía. Aplique aquí un argumento de Gronwall para obtener una estimación$$ \sup_t \left(\|\tilde u'(t)\|^2_{L^2} + A(\tilde u(t), \tilde u(t)) \right) \\ \quad \le C\left( \|\tilde u'(0)\|^2_{L^2} + A(\tilde u(0), \tilde u(0)) + \int_0^T \|f'\|^2_{L^2} \right) $$Usted lee del pde para$\tilde u$qué$\tilde u(0)$y$\tilde u'(0)$debe ser. Esto implica estimaciones de$$ \sup_t \left(\| u_{tt}(t)\|_{L^2} + \| u_t(t)\|_{H^1} \right) $$desde la forma$A$es (esencialmente) coercitivo.
La segunda desigualdad se deriva de la propia pde más la teoría de la regularidad elíptica para el operador$L$. Solo escribe$Lu = -u_{tt} + f$y usar una estimación como$$ \|u\|_{H^2} \le C(\|Lu\|_{L^2} + \|u\|_{L^2}) $$que seguramente aparece en un capítulo anterior del libro.
Como ya tienes un presupuesto para$\|u_{tt}\|_{L^2}$, ahora se puede derivar la estimación deseada. Simplemente manténgase al tanto de dónde están las normas de$g$y$h$introducir las estimaciones.