Sobre una cierta expansión en términos de funciones de Schur

Aug 20 2020

Esta pregunta está relacionada con esta otra.

Una conjetura de positividad de Schur relacionada con las permutaciones de filas y columnas

por Richard Stanley (gracias a Sam Hopkins por hacérmelo saber).

Considere un subgrupo joven $S_{\lambda}$ del grupo simétrico $S_n$, correspondiente a alguna partición entera $\lambda$ de $n$. Dejar$\tau$ ser alguna permutación y definir la función simétrica

$$ F(\tau)=\sum_{\sigma\in S_{\lambda}}p_{c(\tau\sigma)} $$ dónde $p_{\mu}$ es la función simétrica de suma de potencia habitual y $c(\rho)$ denota la partición entera dada por el tipo de ciclo de la permutación $\rho$.

P: ¿Qué se sabe sobre la expansión de la función Schur de$F(\tau)$, dada la clase de doble clase lateral de $\tau$ para el subgrupo Young?

Respuestas

3 RichardStanley Aug 20 2020 at 21:23

Un hecho es que $F(\tau)$ es Schur positivo si y solo si $\tau\in S_\lambda$. De manera más general, si$K$ es cualquier clase lateral (izquierda o derecha) de cualquier subgrupo $G$ de $S_n$, luego $\sum_{\sigma\in K}p_{c(\sigma)}$ es Schur positivo si y solo si $K=G$. La única prueba conocida para la parte "si" requiere la teoría de la representación; ver Combinatoria enumerativa , vol. 2, página 396. Para la parte "solo si", es fácil ver que si una combinación lineal distinta de cero$\sum_{\lambda\vdash n} a_\lambda p_\lambda$ de sumas de potencia es Schur positivo, entonces $a_{1^n}>0$.