Sobre una cierta expansión en términos de funciones de Schur
Esta pregunta está relacionada con esta otra.
Una conjetura de positividad de Schur relacionada con las permutaciones de filas y columnas
por Richard Stanley (gracias a Sam Hopkins por hacérmelo saber).
Considere un subgrupo joven $S_{\lambda}$ del grupo simétrico $S_n$, correspondiente a alguna partición entera $\lambda$ de $n$. Dejar$\tau$ ser alguna permutación y definir la función simétrica
$$ F(\tau)=\sum_{\sigma\in S_{\lambda}}p_{c(\tau\sigma)} $$ dónde $p_{\mu}$ es la función simétrica de suma de potencia habitual y $c(\rho)$ denota la partición entera dada por el tipo de ciclo de la permutación $\rho$.
P: ¿Qué se sabe sobre la expansión de la función Schur de$F(\tau)$, dada la clase de doble clase lateral de $\tau$ para el subgrupo Young?
Respuestas
Un hecho es que $F(\tau)$ es Schur positivo si y solo si $\tau\in S_\lambda$. De manera más general, si$K$ es cualquier clase lateral (izquierda o derecha) de cualquier subgrupo $G$ de $S_n$, luego $\sum_{\sigma\in K}p_{c(\sigma)}$ es Schur positivo si y solo si $K=G$. La única prueba conocida para la parte "si" requiere la teoría de la representación; ver Combinatoria enumerativa , vol. 2, página 396. Para la parte "solo si", es fácil ver que si una combinación lineal distinta de cero$\sum_{\lambda\vdash n} a_\lambda p_\lambda$ de sumas de potencia es Schur positivo, entonces $a_{1^n}>0$.