todos $A_i$ son conjuntos conectados de manera que $\bigcap\limits_{i\in E} A_i \neq \emptyset$ entonces $\bigcup\limits_{i \in E} A_i$ está conectado [duplicado]

Question

Esta es mi prueba

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Supongamos que no. Entonces,$\cup A_i$ tiene una partición abierta $\{U,V\}$

$U \subseteq \cup A_i$ por lo que solo necesitamos mostrar dos casos:

1. $U \subseteq \cup A_j$ con $U \neq \cup A_j$ para algunos $J \subseteq E$. Entonces existe algo$A_k$ tal que $U \neq A_k$ con $U \cap A_k \neq \emptyset$. Así$\{ U \cap A_k,V \cap A_k \}$ es una partición abierta de $A_k$. Por suposición,$A_k$está conectado. Es una contradicción con [$\cup A_i$ está desconectado]

2. $U= \cup A_t$ para algunos $T \subseteq E$. Ya que$V \neq \emptyset$, existe algo $A_k$ tal que $(A_k-U) \neq \emptyset$. Dejar$J=T \cup \{k\}$. Luego, en el caso 1, es una contradicción con [$\cup A_i$ está desconectado]

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¿¿Está bien??
No estoy seguro de esto...

Answer 1

Hay varias cosas que no entiendo en tu prueba. En particular:

1. $U \neq \bigcup_j A_j$ : ¿en que plató se realiza la unión?

2. Lo mismo para el caso 2 con $T$.

Solo diría como $$\bigcap_{j \in J} A_j$$ se supone que no está vacío, tomemos $x \in \bigcap_{j \in J} A_j$.

Como por hipótesis $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U \cap V,$$ podemos suponer sin pérdida de generalidad que $x \in U$ (podemos intercambiar el rol de $U,V$ en el otro caso).

Ahora para cualquier $j \in J$, $A_j$ se supone que está conectado y $x \in A_j$. Por lo tanto$A_ j \subseteq U$ y finalmente $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U$$ demostrando que el sindicato está conectado.