Transformación de Möbius entre dos conjuntos [duplicado]

Dec 14 2020

Necesito ayuda para construir una transformación de Möbius (que existe, creo) que mapea el dominio $\left\{z=x+i y \in \mathbb{C}: x^{2}+\frac{y^{2}}{4}<1\right\}$ sobre $\{z=x+i y \in \mathbb{C}: y>0\}$

Respuestas

J.G. Dec 14 2020 at 18:48

@MartinR y @Vercassivelaunos han dado explicaciones geométricas concisas por qué no existe tal transformación. Es un ejercicio que vale la pena hacerlo de la manera difícil, para aquellos no familiarizados con el Circline -to-Circline resultado .

Parametrizar el primer conjunto como $x=r\cos t,\,y=2r\sin t$ con $r\in[0,\,1),\,t\in[0,\,2\pi)$. Si$\frac{az+b}{cz+d}$ hace el trabajo,$$\frac{ar\cos t+b+2iar\sin t}{cr\cos t+d+2icr\sin t}=\frac{(ar\cos t+b+2iar\sin t)(cr\cos t+d-2icr\sin t)}{c^2r^2(\cos^2t+4\sin^2t)+2cdr\cos t+d^2}$$tiene una parte real positiva para todos esos $r,\,t$. De manera equivalente, necesitamos$$0<a\sin t\cdot(cr\cos t+d)-c\sin t\cdot(ar\cos t+b)=(ad-bc)\sin t$$para todos $t$, que claramente no funciona.