Transformación de Möbius entre dos conjuntos [duplicado]
Necesito ayuda para construir una transformación de Möbius (que existe, creo) que mapea el dominio $\left\{z=x+i y \in \mathbb{C}: x^{2}+\frac{y^{2}}{4}<1\right\}$ sobre $\{z=x+i y \in \mathbb{C}: y>0\}$
Respuestas
@MartinR y @Vercassivelaunos han dado explicaciones geométricas concisas por qué no existe tal transformación. Es un ejercicio que vale la pena hacerlo de la manera difícil, para aquellos no familiarizados con el Circline -to-Circline resultado .
Parametrizar el primer conjunto como $x=r\cos t,\,y=2r\sin t$ con $r\in[0,\,1),\,t\in[0,\,2\pi)$. Si$\frac{az+b}{cz+d}$ hace el trabajo,$$\frac{ar\cos t+b+2iar\sin t}{cr\cos t+d+2icr\sin t}=\frac{(ar\cos t+b+2iar\sin t)(cr\cos t+d-2icr\sin t)}{c^2r^2(\cos^2t+4\sin^2t)+2cdr\cos t+d^2}$$tiene una parte real positiva para todos esos $r,\,t$. De manera equivalente, necesitamos$$0<a\sin t\cdot(cr\cos t+d)-c\sin t\cdot(ar\cos t+b)=(ad-bc)\sin t$$para todos $t$, que claramente no funciona.