Una desigualdad diferencial con valores de frontera

Question

Dejar $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ ser función dos veces diferenciable en $(0,1)$ tal que $f(0)=f(1)=0$ y $f''+2f'+f \ge 0$

Entonces, ¿cuál de los siguientes valores no puede alcanzarse $f$ ?

$(a)\quad \pi$

$(b) \quad e$

$(c) \quad e^{\pi}$

$(d) \quad {\pi}^e$

Mi primer pensamiento fue tomar la igualdad con cero.

Luego $f(x)=(a+bx)e^{-x}$ suero $a,b$ son constantes arbitrarias

Con el valor límite, tenemos $a=0=b$ entonces $f=0$. Entonces no hay conclusiones

Nuevamente tomando la ecuación diferencial

$f''+2f'+f=e^{\pi x}$

Tenemos la solución general como

$f(x)=(a+bx)e^{-x}+\frac{e^{\pi x } }{(\pi+1)^2}$

Con los valores límite

$a=-\frac 1{(\pi+1)^2}$ y $b=\frac{e^{\pi+1}}{(\pi+1)^2}+ \frac 1{(\pi+1)^2} $

Pero, ¿qué concluir de esto?

Estoy totalmente confundido ya que soy nuevo en este tipo de problemas.

Ayúdame a resolver esta pregunta. Gracias por tu tiempo.

Answer 1

Considerar $g(x)=e^xf(x)$. Luego$g(0)=g(1)=0$ y $g''(x)=e^x(f''(x)+2f'(x)+f(x))\ge 0$. Esto significa que$g$es una función convexa. Ahora recuerde cómo una secante se encuentra en relación con una función convexa para concluir que$g(x)\le 0$ y así también $f(x)\le 0$ para $x\in[0,1]$.