Velocidad de fase en cadena monoatómica

Question

Al considerar una cadena monoatómica unidimensional de átomos (masas idénticas $m$ & constante de resorte $\kappa$), se encuentra la siguiente dispersión: $$ \omega(k) = \sqrt\frac{\kappa}{m}\cdot\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\, ,$$

cual es $\frac{2\mathrm{\pi}}{a}$-periódico. Entonces, los espectros de onda superiores a$\mathrm{\pi}/a$ no proporcione un nuevo comportamiento físico.

Sin embargo, al calcular la velocidad de fase, se encuentra: $$ v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{k}\sqrt\frac{\kappa}{m}\cdot\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\, .$$Esto significa que la velocidad de fase va como un sinc, que no es periódica; Los vectores de onda fuera de la primera zona de Brioullin producen una velocidad de fase mucho menor.

¿Cómo es esto posible? ¿Existe una buena razón para considerar solo la primera zona de Brioullin para la velocidad de fase? ¿O hay otros errores en mi cálculo?

Answer 1

La velocidad de fase no tiene sentido fuera de la primera zona de Brillouin. La velocidad de fase es la velocidad a la que viaja la "cresta" de una onda, pero fuera de la primera zona de Brillouin, la longitud de onda es menor que el espacio entre átomos, por lo que en realidad no hay crestas; la mayoría de las "crestas" ocurren en los espacios entre los átomos donde no hay nada que desplazar, por lo que las crestas son una especie de artefactos matemáticos.

Si bien puede definir una función continua para el desplazamiento de los átomos desde su posición de equilibrio $u\left(x, t\right)$para la ola, eso no significa que la ola sea realmente continua; la ola solo tiene un desplazamiento significativo en el$x$posiciones donde hay átomos. Entonces, algo de la intuición proveniente de ondas en un medio continuo realmente no se aplica.