$A$ est nilpotent, alors $I+\lambda A$ est inversible pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$

Question

J'ai besoin d'aide dans ce problème
Let$A$ est une matrice réelle carrée telle que $A^{n}=0$ pour un entier positif $n .$Une telle matrice est appelée nilpotent. Montrez que si$A$ est nilpotent, alors $I+\lambda A$ est inversible pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$

Je le sais pour $\lambda = 1$ c'est vrai par
$$\left(A+I\right)\left(I-A+A^2-...+(-1)^n A^{n-1}\right) = I +(-1)^{n-1} A^n = I$$ Prouvant ainsi que $A+I$ est inversible pour tout nilpotent $A$.

Mais je ne sais pas si c'est vrai pour tout $\lambda$.

Answer 1

Nous avons $(I+\lambda A)(I-\lambda A+\lambda^2A^2-...)=I$.

Answer 2

Astuce: puisque vous savez déjà si $A$ est nilpotent, alors $I+A$ est une unité, vous pouvez observer que $\lambda A$ est nilpotent et conclure.

Answer 3

Vous pouvez également le montrer par contradiction comme suit:

Pour $\lambda = 0$ il n'y a rien à montrer.

Alors, allons $\lambda \neq 0$ et supposer que $I+\lambda A$ n'est pas inversible. $$\Rightarrow \det (I+\lambda A)=0 \Rightarrow \det \left(A - \mu I\right)=0 \text{ with } \mu = -\frac 1{\lambda} \neq 0$$

Alors, $\mu\neq 0$ serait une valeur propre de $A$. Depuis$A$ est nilpotent, nous aurions $\mu = 0$, ce qui est une contradiction.

Answer 4

je suppose $A$ est fini $\mathbb{R}$ , avec indice nilpotent $k$

au cas où $\lambda = 0$ : $(I - \lambda A) = I$et est inversible.
au cas où$\lambda \not= 0$: nous utiliserons ce prochain lemme

---

lemme: si$B$ est une vraie matrice nilpotente, $B$n'a pas de valeurs propres réelles non nulles.
preuve:

supposons $B$ est nilpotent d'index $r$.
nous supposons également qu'il a une valeur propre réelle -$\xi$

par définition, cela signifie qu'il existe un vecteur non nul $v$ tel que-

$Bv = \xi v$

alors, $B^2v = B(B(v)) = B(\xi v) = \xi B(v) = \xi^2 v$
en général, il n'est pas difficile de montrer par induction que
$\forall n \in \mathbb{N} : B^n (v) = \xi ^n v$

avec ça, on obtient: $B ^r (v) = \xi ^r v$
mais aussi $B ^r (v) = O (v) = \underline0$

alors - $\xi ^r v = \underline0$.
mais$v \not= \underline0$ , donc nous devons obtenir $\xi ^r = 0$ - ce qui signifie globalement que:
$\xi = 0$
$Q.E.D$

---

Maintenant, appliquez ce lemme sur$A$et obtenez ça $A$n'a pas de valeurs propres non nulles .

examinons la matrice $I - \lambda A$ , en me souvenant qu'ici $\lambda \not= 0$.

Cette matrice est inversible, si et seulement si elle a un déterminant non nul.
Calculons son déterminant:

$det(I - \lambda A) = \lambda det(\lambda ^{-1}I - A)$

supposons que cela est égal $0$ et obtenir:
$\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$
$det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$

et donc - $\lambda ^{-1}$ est une valeur propre de $A$, qui est non nul. Contrédiction.

par conséquent, $\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) \not= 0$ et donc -
$det(I - \lambda A) \not = 0$ et la matrice est inversible.