Angles dans un quadrilatère inscriptible

Question

Je suis tombé sur une question étrange qui pourrait être difficile (à deviner). Existe-t-il un quadrilatère inscriptible tel qu'il y ait une bijection entre ses angles de coin et les angles en son centre autres que le carré -où les 8 angles sont à 90 ° -. L'angle central est l'angle formé par deux sommets successifs et le centre donné.

Answer 1

Voici une preuve d'algèbre linéaire:

Appel $c_k, \ (k=1,2,3,4)$les angles au centre. Ils déterminent des triangles isocèles avec des angles de base

$$a_k=\frac12(\pi-c_k)\tag{1}.$$ Les angles aux sommets du quadrilatère étant:

$$a_1+a_2, \ \ a_2+a_3, \ \ a_3+a_4, \ \ a_4+a_4,$$

on aurait dû, pour une certaine permutation $d_k=c_k$ du $c_k$s:

$$\begin{cases} \frac12(2\pi-c_1-c_2)&=&d_1\\ \frac12(2\pi-c_2-c_3)&=&d_2\\ \frac12(2\pi-c_3-c_4)&=&d_3\\ \frac12(2\pi-c_4-c_1)&=&d_4 \end{cases} \ \iff \ \begin{cases} c_1+c_2+2d_1&=&2 \pi\\ c_2+c_3+2d_2&=&2 \pi\\ c_3+c_4+2d_3&=&2 \pi\\ c_4+c_1+2d_4&=&2 \pi \end{cases}\tag{2}$$

(2) peut être écrit sous la forme matricielle suivante:

$$\left(\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\1&0&0&1\end{pmatrix}+2\underbrace{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}_{\binom{\text{any permutation matrix}}{\text{just an example here.}}}\right)\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\\c_4\end{pmatrix}=2\pi \underbrace{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}_U\tag{3}$$

Mais, comme $U$défini ci-dessus est simultanément un vecteur propre de la première et de la deuxième matrice, ce sera forcément une solution au système. Par conséquent, les quatre valeurs du$c_k$s sont égaux (le cas carré).

Plus exactement, c'est à la condition que le système (3) soit inversible ... une propriété que j'ai vérifiée en considérant tout $4!$ cas (avec Matlab) mais a peut-être une preuve plus directe.

Answer 2

La réponse est non. La seule configuration possible est que tous les angles de coin sont$90^\circ$.

Laisser $I$ être l'incitateur et $A,B,C,D$ être les sommets du quadrilatère.

Laisser $a$ être le demi-angle sous-tendu par les deux points tangents associés au sommet $A$.
Plus précisément, si$AB$ est tangente au cercle à $A'$ et $AC$ est tangente au cercle à $A''$, puis $\angle A'IA = 2a$. Défini$b, c, d$ pour les sommets $B,C,D$ de la même manière.

En terme de $a,b,c,d$, nous avons

$$\begin{cases} \angle DAB = \pi - 2a,\\ \angle ABC = \pi - 2b,\\ \angle BCD = \pi - 2c,\\ \angle CDA = \pi - 2d \end{cases} \quad\text{ and }\quad \begin{cases} \angle AIB = a+b \\ \angle BIC = b+c \\ \angle CID = c+d \\ \angle DIA = d+a \end{cases}$$ S'il y a une bijection entre ces paires de 4-uplets de nombres, nous aurons

$$\begin{align} \sum_{cyc}(a-b)^2 &= \sum_{cyc}(2a^2 + 2b^2 - (a+b)^2) = \sum_{cyc}((2a)^2 - (a+b)^2)\\ &= \sum_{cyc}((2a)^2 - (\pi - 2a)^2) = \pi\sum_{cyc}(4a - \pi)\\ &= \pi \left[4\left(\sum_{cyc}a\right)- 4\pi\right]\\ &= 0\end{align}$$ car $\sum\limits_{cyc} a = \pi$. Cela force$a = b = c = d = \frac{\pi}{4}$ et par conséquent, tous les angles de coin égaux à $90^\circ$.