Anneaux d'évaluation de $\mathbb{Q}$
Question: Quels sont les anneaux de valorisation de $\mathbb{Q}$?
J'ai commencé à lire de la géométrie algébrique du livre de Daniel Bump. Je n'ai pas vraiment beaucoup de connaissances en algèbre commutative (d'où le choix de ce livre particulier car il est plus autonome dans ce sens). Il s'agit de l'exercice 2.2 du livre.
La définition donnée pour l'anneau de valorisation $R$ d'un champ $F$ est-ce $R$ est un sous-titrage de $F$ tel que $x\in F\setminus\{0\}$ implique $x\in R$ ou $x^{-1}\in R$. Je sais aussi que les anneaux de valorisation sont locaux.
Il est facile de voir que les sous-titres du formulaire $\{a/b\in \mathbb{Q}\; |\; p\nmid b\}$ (pour $p$ nombres premiers) sont des anneaux de valorisation de $\mathbb{Q}$. La question se résume donc à savoir si des anneaux comme ceux-ci épuisent tous les anneaux d'évaluation de$\mathbb{Q}$? Je suppose que oui, ils le font. Existe-t-il une manière directe (élémentaire) de montrer cela?
Réponses
La réponse est oui, car les anneaux de valorisation dans un champ sont également caractérisés par la propriété qu'ils sont des sous-rangs maximaux parmi les sous-rangs locaux pour la relation de domination (c'est-à-dire que l'idéal maximal du plus petit anneau est contenu dans l'idéal maximal du plus grand anneau) .
Quelques détails supplémentaires : tout sous-programme$V\subset\mathbf Q$ contient $\mathbf Z$, et si $\mathfrak m$ est l'idéal maximal de $V$, $\mathfrak m\cap\mathbf Z $ est généré par un prime $p$ et clairement $\mathbf Z_{(p)}$ est dominé par $V$. Comme c'est aussi un anneau de valorisation, par maximalité, on a$\mathbf Z_{(p)}=V$.