Assistant de calcul de l'opérateur de différenciation
C'est un problème que j'ai rencontré dans mes études et travailler dans des opérateurs différentiels illimités
Définissons l'opérateur $T = -\frac{d^2}{dx^2}$ en tant qu'opérateur sur $L^2(\mathbb{R})$ avec domaine $C_0 ^{\infty} (\mathbb{R})$ où le domaine est l'ensemble des fonctions à valeurs complexes infiniment différentiables sur $\mathbb{R}$avec support compact. On nous demande de calculer l'adjoint de cet opérateur avec son domaine (qui étend l'original$T$). Aussi, on nous demande si cet opérateur est essentiellement auto-adjoint.
Pour être honnête, je suis nouveau dans ce domaine de l'analyse fonctionnelle et de la théorie des opérateurs et donc je me trouve en difficulté, je ne sais pas comment calculer l'adjoint et son domaine. Je sais qu'un critère de base de l'auto-adjonction essentielle est de vérifier si la fermeture$\bar{T}$est auto-adjoint. Je sais aussi$T$est symétrique (voir ci-dessous) via l'intégration par pièces et en utilisant les conditions aux limites résultant d'un support compact. Je n'ai aucune idée de comment faire ces choses ici ou dans la pratique en général. Je remercie toutes les personnes qui peuvent aider à résoudre les deux aspects du problème.
***** Remarque: permettez-moi de clarifier quelques définitions. Si$T$ est un opérateur linéaire densément défini sur un espace de Hilbert $H$, le domaine $D(T^*)$ est l'ensemble de $\phi \in H$ pour lequel il y a un $\eta \in H$ avec $$ \langle T\psi,\phi \rangle = \langle \psi,\eta \rangle $$ pour tous $\psi \in D(T)$. Pour chacun de ces$\phi \in D(T^*)$ nous définissons $T^* \phi = \eta$, et $T^*$s'appelle l'adjoint de$T$. Un opérateur densément défini est dit symétrique si$\langle T\phi,\psi \rangle = \langle \phi,T\psi \rangle$ pour tous $\phi,\psi \in D(T)$, et dans ce cas $D(T) \subseteq D(T^*)$ et $T=T^*$ sur $D(T)$ et $T^*$est dit étendre $T$. Un opérateur symétrique est auto-adjoint ssi$D(T)=D(T^*)$ Et ainsi $T=T^*$. Un opérateur$T$est dit essentiellement auto-adjoint si sa fermeture$\bar{T}$ est auto-adjoint, ce qui équivaut à $\ker(T^* \pm i) = \{0\}$ ou $\text{Ran}(T \pm i)$ sont denses en $H$.
Réponses
L'adjoint $T^*$ est défini comme l'ensemble de $g\in L^2(\mathbb{R})$ pour lequel il existe une constante $C_{g}$ tel que $$ |\langle Tf,g\rangle_{L^2}| \le C_g\|f\|_{L^2},\;\;\; \forall f\in \mathcal{D}(T). $$ Cette inégalité tient ssi il y a un $T^*g\in L^2$ tel que $$ \langle Tf,g\rangle = \langle f,T^*g\rangle,\;\;\; \forall f\in\mathcal{D}(T). $$ ($T^*g$ est unique s'il existe car $\mathcal{D}(T)$ est dense dans $L^2(\mathbb{R})$.) La transformée de Fourier $\mathcal{F}$ sur $L^2$ peut être mis à contribution $|\langle Tf,g\rangle| \le C_g\|f\|_{L^2}$: $$ \langle \widehat{Tf},\widehat{g}\rangle=\langle \widehat{f},\widehat{T^*g}\rangle \\ \langle -\xi^2\widehat{f},\widehat{g}\rangle=\langle \widehat{f},\widehat{T^*g}\rangle \\ \langle\widehat{f},-\xi^2\widehat{g}\rangle=\langle \widehat{f},\widehat{T^*g}\rangle \\ \implies \widehat{T^*g}=-\xi^2\widehat{g} \in L^2 \\ T^*g = -\mathcal{F}^{-1}\xi^2\mathcal{F}g $$ Donc l'adjoint $T^*$ est entièrement caractérisée en termes de transformée de Fourier: elle équivaut à une multiplication par $-\xi^2$dans le domaine de Fourier. Opérateurs de multiplication sur$L^2(\mathbb{R})$ sont auto-adjoints. $$ T^*=-\mathcal{F}^{-1}\xi^2\mathcal{F} \\ \implies T^c = (T^*)^*=-\mathcal{F}^{-1}\xi^2\mathcal{F}, $$ où $T^c$ est la fermeture de $T$. $T^c$ est auto-adjoint car il est unitaire équivalent à un opérateur de multiplication.
Laisser $T:L^2(\mathbb{R})\rightarrow L^2(\mathbb{R})$ être l'opérateur illimité défini sur l'ensemble dense $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ par $T=-\frac{d^2}{dx^2}$ Puis pour $f,g\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ nous avons par intégration par parties: $$\langle Tf,g\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}-\frac{d^2}{dx^2}f(x)\overline{g(x)}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d}{dx}f(x)\overline{\frac{d}{dx}g(x)}dx=-\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\overline{\frac{d^2}{dx^2}g(x)}dx=\langle f,Tg\rangle$$ où il n'y a pas de valeurs limites car $f,g$ont un soutien limité. Ceci montre$T$ est symétrique sur son domaine.
$\textbf{Edit:}$ La question demeure, pour laquelle $g\in L^2(\mathbb{R})$ est $$f\mapsto\int_{-\infty}^{\infty}-\frac{d^2}{dx^2}f(x)\overline{g(x)}dx$$ une fonction continue sur $C_0^\infty(\mathbb{R})$.
$\textbf{Edit:}$ Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz et ce qui précède, nous avons $$|\langle Tf,g\rangle|\leq ||f||_{L^2(\mathbb{R})}\left(\int_{-\infty}^{\infty}|\frac{d^2}{dx^2}g(x)|^2dx\right)^{\frac{1}{2}}$$ ce qui montre que l'espace de Sobolev des fonctions deux fois faiblement différentiables $H^2(\mathbb{R})$ est contenu dans le domaine de l'adjoint: $H^2(\mathbb{R})\subseteq D(T^*).$