Bundle normal et explosion

Question

Travaillons sur l'espace projectif complexe: considérons une variété lisse $X$ et une sous-variété $Y$. J'ai appris que, si nous faisons l'explosion de$X$ avec centre $Y$, nous obtenons une nouvelle variété $\tilde{X}$, avec une carte $\pi: \tilde{X}\to X$, qui est un isomorphisme hors du lieu exceptionnel, c'est-à-dire $Y$.

Bien que je n'ai pas de référence précise, on m'a dit que le diviseur exceptionnel de $Y$, c'est l'image inverse $\pi^{-1}(Y)$, coïncide avec le faisceau projectif du faisceau normal, c'est-à-dire

$$\tilde{Y}=\pi^{-1}(Y)\simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X}^\vee)=(\mathcal{N}_{Y\mid X}\setminus Y)/\sim,$$

où $\sim$ est l'action standard de $\mathbb{C}$.

Des questions:

• Quelle est une bonne référence de cette construction? Je sais que c'est le contenu du théorème II.8.24 de la géométrie algébrique de Hartshorne, mais sans une connaissance de la théorie des schémas (et de la construction de projets, et des faisceaux cohérents), c'est un peu difficile, alors peut-être qu'il y a un texte plus accessible;
• Aux pages 86-87 de ces notes ( https://www.math.ens.fr/~debarre/M2.pdf ), on part d'une courbe rationnelle $\Gamma^+$ dans $X^+$ avec bundle normal $\mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-2)$: alors les auteurs font l'explosion le long $\Gamma^+$, et il prétend que le diviseur exceptionnel est $$S^+_1=\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(1))$$ mais en utilisant les formules ci-dessus devrait être $\mathbb{P}(\mathcal{O}(1)\oplus \mathcal{O}(2))$: Qu'est-ce que je rate?

Answer 1

Votre déclaration manque une hypothèse: nous avons également besoin $Y$être non singulier. Quoi qu'il en soit, une référence alternative est la section 22.3 de Vakil "La mer montante: fondations de la géométrie algébrique" , qui est généralement considérée comme une référence plus accessible que Hartshorne. Vakil ne donne pas de preuve de l'affirmation que vous voulez - c'est l'exercice 22.3.D - mais la préparation de l'exercice peut donner des indications utiles sur la façon de le prouver.

Malheureusement, je ne connais pas de référence pour cette déclaration qui n'utilise pas le langage des schémas, la construction Proj et les faisceaux quasi-hérents au moins dans une certaine mesure.

Pour répondre à votre deuxième question, les deux faisceaux projectifs sont isomorphes, car les faisceaux projectifs ne changent pas si vous tenseur par un faisceau de lignes. C'est l'exercice 17.2.G dans les notes de Vakil, et le lemme II.7.9 dans Hartshorne. Une autre référence pour la déclaration générale est Stacks Project, tag 02NB . En particulier, pour tous$c \in \mathbb{Z}$, nous avons $$\mathbb{P}(\mathcal{O}(a) \oplus \mathcal{O}(b)) \cong \mathbb{P}(\mathcal{O}(a + c) \oplus \mathcal{O}(b + c)).$$