Caractérisation des ensembles connectés connectés localement
$T_1$ espace $X$ est à la fois connecté et connecté localement ssi pour chaque couvercle ouvert $\{U_\alpha\}$ de $X$ et paire de points $x_1,x_2$ de $X$, il existe une suite finie $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ et une séquence de sous-ensembles ouverts connectés $V_1,\cdots,V_n$ tel que
- $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
- $V_i\cap V_j\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$
- $V_i\subseteq U_{\alpha_i}$ pour tous $i=1,\cdots,n$
Maintenant, pour connecté $X$, nous avons ça pour $x_1,x_2$ de $X$ et couvercle ouvert $\{U_\alpha\}$, on peut obtenir une séquence $U_{\alpha_1},\cdots,U_{\alpha_n}$ de la couverture de telle sorte que
- $x_1\in U_{\alpha_1}$, $x_2\in U_{\alpha_n}$
- $U_{\alpha_i}\cap U_{\alpha_j}\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$
Aussi comme $X$ est connecté localement, chaque composant d'un ensemble ouvert est ouvert.
Maintenant, je crois que le $V_i$ requis sont des composants de $U_{\alpha_i}$, choisi de manière appropriée pour que les conditions $1$ et $2$tenir. Cela prendrait automatiquement soin si la condition$3$. Cependant, je n'ai pas pu le montrer. Toute aide serait appréciée!
Réponses
Laisser $X$satisfont à la "condition de couvercle ouvert". ensuite$X$ est connecté parce que deux $x_1, x_2 \in X$ sont contenus dans un sous-ensemble connecté de $X$ (prenons l'union des $V_i$). Montrer que$X$ est connecté localement, laissez $x_1 \in X$ et $U_1$ être un quartier ouvert de $x_1$. Il faut trouver un quartier ouvert connecté$V_1$ de $x_1$ tel que $V_1 \subset U_1$. L'ensemble$U = X \setminus \{x_1\}$ est ouvert depuis $X$ est $T_1$(c'est le seul endroit où nous avons besoin du$T_1$-exigence). Par conséquent$\mathcal U = \{U_1, U\}$ est une couverture ouverte de $X$. Choisissez n'importe quel$x_2 \in X$ (si tu veux $x_2 = x_1$). Il existe une séquence d'ouverture connectée$V_i$comme dans votre condition. Nous avons$x_1 \in V_1$. De plus,$V_1$ est contenu dans un membre de $\mathcal U$. Depuis$x_1 \in V_1$, il est impossible que $V_1 \subset U$. Donc$V_1 \subset U_1$.
Nous prouvons ensuite l'inverse. Commençons par ce qui suit
Lemme: Let $M_1,\ldots, M_r$ être des sous-ensembles de $X$ tel que $M_i \cap M_{i+1} \ne \emptyset$ pour $i =1,\ldots,r-1$. Alors il existe un sous-ensemble$\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ tel que $1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ et $M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ iff $\lvert i - j \rvert \le 1$.
Preuve: Appel $\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ bien si$1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ et $M_{k_i} \cap M_{k_{i+1}} \ne \emptyset$ pour $i = 1,\ldots,n-1$. Clairement$\{1,\ldots,r\}$c'est sympa. Il existe un joli$\{k_1,\ldots,k_n\}$avec un minimum$n$ (peut-être $n = r$). Présumer$M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ pour une paire $(i,j)$ tel que $\lvert i - j \rvert > 1$. Wlog, nous pouvons supposer$i < j$. ensuite$\{k'_1 = k_1,\ldots,k'_i = k_i,k'_{i+1} = k_j,\ldots,k'_{n+1-(j-i)} = k_n\}$ est gentil avec $n+1-(j-i) < n$, une contradiction.
Le lemme montre que dans la "condition de couvercle ouvert", nous pouvons remplacer 2. par la condition (seulement apparemment) plus faible $$V_i \cap V_{i+1} \ne \emptyset, i =1,\ldots,n-1 .$$ Laisser $\mathcal U$ être une couverture ouverte de $X$. Pour$x_1,x_2 \in X$ définir $x_1 \sim x_2$ s'il existe une séquence finie de sous-ensembles ouverts connectés $V_1,\cdots,V_n$ tel que
- Chaque $V_i$ est contenu dans certains $U_{\alpha_i} \in \mathcal U$.
- $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
- $V_i\cap V_{i+1} \neq\emptyset$ pour $i = 1,\ldots,n-1$
$\sim$est une relation d'équivalence. La réflexivité est due à la connectivité locale (chaque$x$ est contenu dans certains $U \in \mathcal U$, maintenant prends $n=1$ et $V_1$ toute connexion ouverte telle que $x \in V_1 \subset U$). La symétrie et la transitivité sont évidentes.
Les classes d'équivalence $[x_1]$ par rapport à $\sim $ sont ouverts: si $x_2 \in [x_1]$, on trouve une séquence de $V_i$comme ci-dessus. Mais alors évidemment$x_2 \in V_n \subset [x_1]$. Par conséquent, les classes d'équivalence forment une partition de$X$en ensembles ouverts disjoints par paires. Depuis$X$est connectée, il ne peut y avoir qu'une seule classe d'équivalence. Ainsi deux$x_1,x_2 \in X$ sont équivalents ce qui termine la preuve.
Dans cette réponse, je donne une caractérisation en chaîne de la connectivité. Lisez cela en premier. Je n'ai pas le "iff"$|i-j| \le 1$"partie là, mais cela peut être réalisé en utilisant le $T_1$-ness de $X$, vérifiez la preuve. Personnellement, je n'aime pas mélanger les axiomes de séparation comme ça.
Si $X$ est connecté et connecté localement, laissez $\{U_{\alpha \in A}\}$ être une couverture ouverte de $X$. Puis pour chacun$x \in X$ nous avons $\alpha_x$ et ouvert connecté $V_x$ tel que $x \in V_x \subseteq U_{\alpha_x}$. Appliquez ensuite la caractérisation en chaîne de la connectivité de$X$ à $\{V_x: x \in X\}$ et nous avons montré une direction, l'existence de cette couverture de la connectivité et de la connectivité locale.
Comment voir prouver $X$connecté et connecté localement à partir de la "condition de chaîne modifiée"? La connectivité est facile car nous appliquons simplement la condition directement à la couverture$\{U,V\}$ quand $U,V$ est une déconnexion de $X$.
De plus, laissez $O$ être ouvert, $p \in O$ et laissez $C$ être un composant de $p$ dans $O$. Appliquer le fait à la couverture ouverte$\{O,X\setminus \{p\}\}$ de $X$. Pour$y \in C$ et $p$ on trouve ouvert et connecté $V_1,\ldots V_n$ tel que $p \in V_1$, $q \in V_n$ et $V_i \subseteq O$ ou $V_i \subseteq X\setminus \{p\}$ pour tous $i$ et adjacent $V_i$couper. En fait, la "chaîne" doit avoir une longueur$2$ si vous y pensez (!), alors $n=2$. Mais alors$V_1 \cup V_2$ est connecté et un sous-ensemble de $O$ et montre que $q$ est un point intérieur de $C$ et $X$ est connecté localement.