Champ de résidus du composite de deux champs


[Question]
Je sais que $K'\cdot K''$ est une extension non ramifiée de $K$ mais je ne sais pas pourquoi $K'\cdot K''$ avoir un champ de résidus $k'$.
est-ce toujours vrai que $K_1\cdot K_2$ avoir un champ de résidus $k_1 \cdot k_2$? (où$k_1,k_2$ sont des champs de résidus de $K_1, K_2$)
Je pense que si nous prouvons la proposition 7,50, alors nous pouvons utiliser " $K_1\cdot K_2$ avoir un champ de résidus $k_1 \cdot k_2$" dans cette situation.
Cependant, nous ne pouvons pas utiliser ce fait pour prouver cette proposition.
Comment puis-je le prouver?
Merci pour votre attention.
référence ( Théorie des nombres algébriques de JS Milne ) et ce post 1 : Le raisonnement étrange des extensions non ramifiées ayant les mêmes champs de résidus sont les mêmes.
Réponses
Pour $K/\Bbb{Q}_p$ une extension finie alors $F/K$ est non ramifié ssi $F=K(\zeta_n)=K(\zeta_{q-1})$ avec $p\nmid n$ et $q= |O_F/(\pi_F)|$. C'est la principale application du lemme de Hensel.
Quand $E/K,E'/K$ sont ramifiés alors il n'est pas toujours le cas que le champ résiduel de $EE'$ est le plus petit champ contenant ceux de $E,E'$, essayez avec $E=\Bbb{Q}_2(2^{1/3}),E'=\Bbb{Q}_2(\zeta_3 2^{1/3})$.
Quand $E'/K$ est alors non ramifié $EE'=E(\zeta_{q-1})$ a un champ de résidus $O_E/(\pi_E)(\zeta_{q-1})$.