Classer les groupes d'ordre $12$.

Question

Je veux classer tous les groupes de commande $12$.

Laisser $G$ être un groupe avec $|G|=12$. ensuite$n_3=1$ ou $4$.

1. Si $n_3=4$ ensuite nous avons $|G:\langle x \rangle |=4$ où $\langle x\rangle$ est un Sylow $3-$ sous-groupe (pas normal dans $G$) donc nous avons un homomorphisme $r:G\to S_4$ avec $ker(r)\subseteq \langle x\rangle$ et $ker(r)\lhd G\Rightarrow ker(r)=\{1\}$ alors $G$ est intégré dans $S_4$ et a oredr $12$ Par conséquent $G\cong A_4$.
2. Si $n_3=1$ alors nous avons un Sylow unique $3-$ sous-groupe $P=\langle x\rangle$ et laissez $H$ un Sylow $2-$sous-groupe de $G$. ensuite$G= P\rtimes_u H$ où $u:H\to Aut(P)$ et $Aut(P)=Aut(\langle x\rangle)=\langle \tau\rangle,\ \tau:x\mapsto x^{-1}$, $|Aut(\langle x\rangle)|=2$.

• Si $H\cong \mathbb{Z}_4=\langle y\rangle$ ensuite nous avons $u:\langle y\rangle \to \langle \tau\rangle$

Si $u$ est trivial alors $u(y)(x)=x$ Par conséquent $yxy^{-1}=u(y)(x)=x$ alors $G\cong \mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_4$

Si $u(y)(x)=x^{-1}$ puis $yxy^{-1}=x^{-1}$ alors $G=\langle x,y| \ x^3=y^4=1,\ yxy^{-1}=x^{-1} \rangle$

-Si $H\cong \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2=\langle a\rangle \times \langle b\rangle$ ensuite nous avons $u:\langle a\rangle \times \langle b\rangle\to \langle \tau\rangle$

Si $u$ est trivial alors $G\cong \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$

Si $u(a)(x)=x^{-1}$ puis $G=\langle a,b,x| \ a^2=b^2=1,\ axa^{-1}=x^{-1},\ bx=xb\rangle$

Par conséquent, nous avons $5$ groupes d'ordre non isomorphes $12$

Question 1) La preuve ci-dessus est-elle correcte?

Question 2) Je sais que j'aurais dû trouver $D\cong D_6$ quelque part mais peut-être que j'ai fait quelque chose de mal ou que je ne vois pas correctement les prosentations.

Answer 1

La preuve est bonne. Je pense que cela peut être structuré plus clairement et que les groupes peuvent être explicitement identifiés. Nous savons que les groupes suivants existent:

• Abelian: $C_{12}$, $C_2 \times C_2 \times C_3$.
• Non-abélien: $A_4$, $D_6$, $Dic_3$ (Aussi connu sous le nom de groupe métacyclique d'ordre 12).

La théorie de Sylow nous dit que les 3 sous-groupes de Sylow seront $C_3$, et les sous-groupes Sylow 2 seront $C_4$ ou $C_2 \times C_2$. On apprend également que:

• $n_2 = 1$ ou $3$.
• $n_3 = 1$ ou $4$.

Quand $n_2 = n_3 = 1$ nous avons les groupes abéliens.

Quand $n_3 = 4$ tu as montré que nous avons $A_4$.

Nous pouvons maintenant regarder le seul cas restant: $n_3 = 1$ et $n_2 = 4$. Dans cette situation, nous recherchons les produits semi-directs non triviaux$C_3 \rtimes_\theta P_2$ avec $\theta : P_2 \to \operatorname{Aut}(C_3)$.

Notez que $\operatorname{Aut}(C_3) \simeq \langle id, inv \rangle \simeq C_2$

Divisons-nous en cas en fonction de ce $P_2$ est.

( Cas A )$P_2 = C_4$:

Dans ce cas, il y a exactement un homomorphisme non trivial qui est forcé de $\theta(0) = 0$ et $\theta(1) = 1$. Cela nous donne le groupe métacyclique,$Dic_3$.

( Cas B )$P_2 = C_2 \times C_2$:

Dans ce cas, il existe 3 homomorphismes non triviaux différents:

• $\theta_a(0,0) = 0$, $\theta_b(0,0) = 0$, $\theta_c(0,0) = 0$
• $\theta_a(0,1) = 1$, $\theta_b(0,1) = 0$, $\theta_c(0,1) = 1$
• $\theta_a(1,0) = 0$, $\theta_b(1,0) = 1$, $\theta_c(1,0) = 1$
• $\theta_a(1,1) = 1$, $\theta_b(1,1) = 1$, $\theta_c(1,1) = 0$

Maintenant, tout cela nous donne en fait des produits semi-directs isomorphes parce que nous avons des automorphismes de $P_2$ qui relient ces cartes les unes aux autres:

• $(a,b) \mapsto (a,b)$
• $(a,b) \mapsto (b,a)$
• $(a,b) \mapsto (a,ab)$

Maintenant, nous pouvons utiliser $\theta_a$ et la définition de la multiplication des éléments dans un produit semi-direct pour voir que $C_3 \rtimes_{\theta_a} C_2 \times C_2 \simeq S_3 \times C_2 \simeq D_{6}$.