Comment convertir une équation paramétrique en équation implicite?

Question

Q:

Donné
$x = \sin(t)$
$y = \cos(t)$
Quelle est la forme implicite de cette équation?

Ma tentative de résolution:

$x = \sin (t)$
$t = \sin^{-1} (x)$
Remplacer par y:
$y = \cos(\sin^{-1}x)$

Et je suis coincé ici ...

Pour tenter de comprendre cette question, j'ai décomposé la question et utilisé des desmos pour tracer cette question, le lien du graphique desmos .

Je peux voir ça comme $t$augmente ou diminue, il tourne comme un cercle. Mais ma dernière équation$y = \cos(\sin^{-1}x)$ ne trace qu'un demi-cercle, donc ma réponse est définitivement fausse.

Quelqu'un pourrait-il s'il vous plaît expliquer où étaient mes erreurs et me montrer comment vous résoudriez cette question? Merci!

Answer 1

Astuce: mettez les deux équations au carré pour obtenir $x^2 = \sin^2(t)$ et $y^2 = \cos^2(t)$, puis ajoutez pour obtenir $x^2+y^2 = \sin^2(t)+\cos^2(t)$. Par le théorème de Pythagore,$\sin^2(t) + \cos^2(t) = ?$

Answer 2

En général pour 2 équations paramétriques de la forme $$x=a\sin\theta+b, y=a\cos\theta+c$$ nous avons $$\sin\theta=\frac{x-b}{a},\cos\theta=\frac{y-c}{a}$$ Utiliser l'identité $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$, nous avons $$\big(\frac{x-b}{a})^2+\big(\frac{y-c}{a})^2=1$$ et $$(x-b)^2+(y-c)^2=a^2$$ qui est un cercle avec le centre $(b,c)$ et rayon $a$. Évidemment, nous pourrions appliquer la même méthode si c'était$y=a\sin\theta+b$etc. Il faut donc se demander si le coefficient de $\sin\theta$ et $\cos\theta$est le même. Si c'est le cas, la courbe est un cercle.

Answer 3

Avec les équations paramétriques trigonométriques, vous devez penser aux identités trigonométriques. Utilisation de l'identité trigonométrique$\sin^{2}(\theta) + \cos^{2}(\theta) = 1$, vous pouvez mettre au carré vos deux équations de $x$ et $y$. Ce que vous pouvez ensuite substituer à l'identité que je viens de déclarer.

$$\sin^{2}(t) + \cos^{2}(t) = x^2 + y^2 = 1$$

Vous pouvez maintenant voir, la forme implicite est $x^2 + y^2 = 1$.

Answer 4

Votre relation $t=\sin^{-1}(x)$ n'est valable que pour $t\in[-\pi/2,\pi/2],$ étant donné la définition de $\sin^{-1}$. Ensuite, vous avez, étant donné que$\cos(t)\geq0$ dans cet intervalle, $$ y=\cos(t)=\cos(\sin^{-1}(x))=\sqrt{1-\sin^2(\sin^{-1}(x))}=\sqrt{1-x^2}, $$ qui fait partie du demi-cercle $$ x^2+y^2=1,\ y\geq0\qquad\implies\qquad y=+\sqrt{1-x^2}. $$ Si vous définissez $t=\pi-\sin^{-1}(x),$ c'est une autre solution de $x=\sin(t),$ valable $t\in[\pi/2,3\pi/2],$ où $\cos(t)\leq0,$ $$ y=\cos(t)=\cos(\pi-\sin^{-1}(x))=-\cos(\sin^{-1}(x))=-\sqrt{1-\sin^2(\sin^{-1}(x))}=-\sqrt{1-x^2}, $$ qui fait partie de l'autre demi-cercle $$ x^2+y^2=1,\ y\leq0\qquad\implies\qquad y=-\sqrt{1-x^2}. $$