Comment expliquer le fait que $\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$? [dupliquer]

Question

Nous savons que l'espérance conditionnelle de propriété suivante est vraie, en supposant $\mathbb E[|X|]<\infty$:

$\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$

Quelqu'un pourrait-il me donner une certaine intuition à ce sujet? pourquoi lorsque nous reprenons la valeur attendue, la connaissance de la variable aléatoire Y n'affectera pas la valeur attendue de X.

Answer 1

L'intuition - ce qui signifie oublions les espaces de rigueur et de probabilité pendant une seconde, et développons simplement une image de dessin animé mentale du concept - est en fait assez simple:

À l'intérieur de la LHS de l'équation $\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$ nous trouvons $\color{blue}{\mathbb E\left( {X|Y} \right)},$ qui conditionne l'espérance de la variable aléatoire $X$ sur la valeur de la variable aléatoire $Y.$ En tant que tel, $ {\mathbb E\left( {X|Y} \right)}$ est en fait une variable aléatoire, et une fonction de $Y.$ Ce n'est pas un nombre, mais une fonction mesurable ${\mathbb E\left( {X|Y} \right)}:Y \to \mathbb R.$ Alors que vous glissez sur le domaine de $Y,$ l'attente de $X$ changements, à condition qu'ils soient dépendants.

Mais cette expression $\color{blue}{\mathbb E\left( {X|Y} \right)}$ est en outre enfermé dans l'opérateur $ {\mathbb E\left( \cdot \right)},$ ce qui signifie que nous recherchons en fait l'espérance (valeur moyenne pondérée) pour toutes les valeurs de $Y.$ Ce faisant, nous intégrons essentiellement et faisons en sorte que les valeurs individuelles de $Y$ hors du sujet.

Pictorialement,

Encore une fois, juste une intuition!

Answer 2

Je ne sais pas si ces schémas vous seront d'une quelconque utilité. Je trouve utile de penser au conditionnement comme mettant une transparence sur l'espace échantillon.

Laisser $X_1, X_2$être deux coinflips équitables et indépendants. Désignons le résultat des têtes par$0$ et le résultat des queues par $1$. Laisser$S = X_1 + X_2$. L'espace échantillon$\Omega$ a quatre points: $\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\} = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4\}$,:

Considérons d'abord l'espérance conditionnelle intérieure, $Z = E[S | X_2]$. Notez que$Z$ est une variable aléatoire: pour chaque $\omega \in \Omega$, $Z(\omega)$est un nombre réel. C'est simplement que$Z(\omega)$ est constant sur les ensembles $X_2^{-1}(\{0\}) = \{(0,0), (1,0)\} = \{\omega_1, \omega_3\}$ et $X_2^{-1}(\{1\}) = \{(0,1),(1,1)\} = \{\omega_2, \omega_4\}.$ Au format diagramme,

Quelle est la valeur constante de $Z$ quand $X_2 = 0$? C'est la probabilité conditionnelle de$S$ donné $X_2 = 0$, qui est une moyenne sur $\omega$est dans le décor $\{\omega : X_2(\omega) = 0\}$: $$E[S | X_2](\omega_1) = E[S|X_2](\omega_3) = 0.5.$$ De même, $$E[S | X_2](\omega_2) = E[S|X_2](\omega_4) = 1.5.$$

Maintenant que se passe-t-il quand tu le fais $E[E[S|X_2]]$? Vous faites de nouveau la moyenne . La règle$E[E[S|X_2]] = E[S]$ peut être (grossièrement) lu comme "la moyenne des moyennes partielles est la moyenne complète".