Comment trouver la limite correctement?

Question

Je veux utiliser MMA pour trouver la limite de$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin \pi}{n+\frac{1}{n}}\right)$.

Limit[Sum[Sin[(i*Pi)/n]/(n + 1/i), {i, 1, n}], n -> Infinity]

Cependant, le code ci-dessus n'obtient pas le bon résultat (la réponse est$\frac{2}{\pi}$).

Que puis-je faire pour obtenir les bons résultats ?

Answer 1

La commande récente de Mathematica

AsymptoticSum[Sin[(i*Pi)/n]/(n + 1/i), {i, 1, n}, {n, Infinity, 1}]
(*2/\[Pi]*)

Fait le travail.