Comment vérifier si la fonction de génération est correcte?

Question

J'ai la séquence suivante donnée récursivement par:

$$A_n - 2A_{n-1} - 4A_{n-2} = 0$$

Où:

$$A_0 = 1, A_1 = 3, A_2 = 10, A_3 = 32, etc.$$

Pour trouver la fonction génératrice, j'ai fait ce qui suit:

$$\begin{aligned} A &= 1 + 3x + 10x^2 + 32x^3 + \dots \\ -2xA &= 0 - 2x - 6x^2 - 20x^3 + \dots \\ -4x^2 A &= 0 - 0 - 4x^2 - 12x^3 + \dots \end{aligned}$$

[Noter la $0s$ sont là à des fins de mise en forme, ils ne font pas partie des expressions]

En ajoutant ces éléments ensemble:

$$(1 - 2x - 4x^2)A = 1 + x + 0$$

$$A = \frac{1+x}{1 - 2x - 4x^2}$$

Ce qui, je suppose, me donne la fonction de génération.

Ma question est la suivante: comment savoir si c'est correct? Qu'est-ce que cette fonction génératrice est censée me dire?

Si je remplace certaines valeurs dans la fonction génératrice, obtiendrai-je la séquence initiale donnée de manière récursive ou obtiendrai-je la fonction, $A = 1 + 3x + 10x^2 + 32x^3 + ...$?

Answer 1

Vous pouvez faire une division polynomiale longue pour broyer autant de termes que vous le souhaitez. (Désolé pour l'image, essayer de comprendre comment faire cela avec MathJax m'a fait m'évanouir.)

Answer 2

Pour répondre à votre question littérale, vous pouvez demander à un logiciel d'étendre votre fonction rationnelle pour vous assurer que les premiers termes sont corrects, comme ceci .