Composition des isométries: intuition
Je veux prouver la déclaration suivante.
Laisser $x$ être un point dans $\mathbb{R}^3$. Première rotation$x$ $\theta$ radians sur le $z$-axis et le refléter à travers le $yz$avion. Ecrire le$3 \times 3$ représentation matricielle cette composition d'isométries.
Bien que je ne comprenne pas très bien la règle de la main droite ou la dérivation de cette matrice, je crois que la matrice de rotation $\theta$ radians sur le $z$-axis est \begin{align*} \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \end{align*} J'ai également pu constater qu'une réflexion à travers le $yz$-l'avion prend la forme: \begin{align*} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \end{align*} La matrice qui tourne puis réfléchit est: \begin{align*} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ - \sin \theta & - \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \end{align*}Mes questions sont: premièrement, est-ce exact? Deuxièmement, comment comprendre ce qui se passe avec ces matrices et d'où elles viennent? Je sens que je n'ai aucune intuition.
Réponses
Considérons d'abord cette matrice:
\begin{align*} \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & \color{Red}0 \\ \sin \theta & \cos \theta & \color{Red}0 \\ \color{Blue}0 & \color{Blue}0 & 1 \end{bmatrix}. \end{align*}
Notez que cette matrice est en diagonale de bloc. Le bloc supérieur gauche est un$2\times2$ matrice de rotation qui décrit ce que fait cette rotation 3D dans le $xy$-avion. (Je suppose que vous comprenez d'où vient cette matrice 2D, corrigez-moi si je me trompe.) Le bloc inférieur droit est$1$ ce qui signifie que cette rotation fixe le $z$-axis (et ne l'étire pas ou quoi que ce soit). La colonne rouge de$0$s indique le $z$-l'axe ne s'incline pas dans le $xy$-plan, et de même la rangée bleue de $0$s indique le $xy$-l'avion ne s'incline pas dans le $z$-axis any.
En général, si un opérateur linéaire $T$ préserve deux sous-espaces complémentaires $A$ et $B$, et une base est choisie qui est une union de bases pour $A$ et $B$, puis la matrice pour $T$ est une diagonale de bloc, avec un bloc décrivant comment $T$ agit sur $A$ et l'autre décrivant comment il agit sur $B$(par rapport à leurs bases respectives). (Notez un sous-espace$W$ est préservé par $T$ si $TW\subseteq W$, c'est à dire $Tw\in W$ pour tous $w\in W$.) Dans ce cas, les deux sous-espaces sont les $xy$-avion et le $z$-axis, avec la base standard.
De même, pour une réflexion à travers le $yz$-avion, vous connaissez le $yz$-l'avion est fixe (vous avez donc besoin d'un $2\times2$ matrice d'identité pour le $yz$-coordonnées) et le $x$-axis est inversé (vous avez donc besoin d'un $-1$ dans le coin supérieur gauche), le reste étant $0$s parce que là encore, l'axe et le plan ne s'inclinent pas. Donc une réflexion à travers le$yz$-plan sera la matrice diagonale $\mathrm{diag}(-1,1,1)$.