Confusion sur la définition des points d'accumulation
J'ai essayé d'en apprendre un peu sur les limites des séquences et les points d'accumulation pour avoir une meilleure intuition derrière le fonctionnement du calcul et je me suis trompé sur les définitions des limites, des points limites et des points d'accumulation des séquences et des ensembles.
Ma première question est une limite d'une séquence identique au point d'accumulation et est la même que le point limite que j'ai regardé en ligne et tout est très vague. Ma deuxième confusion est que la limite d'une séquence est la même que la limite d'un ensemble sinon y a-t-il une preuve ou une explication intuitive pour expliquer pourquoi pas ?.
Je sais que c'est probablement un concept très simple et probablement insignifiant pour vous tous ici, mais cela m'a beaucoup dérouté. Merci d'avance
Réponses
Un point limite est la même chose qu'un point d'accumulation, et sa définition est la suivante:
Un point $x$ est un point limite d'un ensemble $A$ si pour chaque quartier $S$ de $x$ il existe $y \in S$ tel que $y \in A$, $y \neq x$.
Je préfère fortement le nom de "point d'accumulation", car vous ne prenez pas réellement de limites ici ... c'est l'inverse! Pour pouvoir faire des limites, vous avez normalement besoin de points d'accumulation, car la définition topologique d'une limite nécessite de prendre des voisinages et d'y calculer la fonction.
À propos de votre deuxième question:
Un point $x$est un point d'accumulation pour une séquence $\{x_n\}$ si n'importe quel quartier $S$ de $x$ est tel qu'il existe une infinité d'indices $n$ tel que $x_n \in S$.
C'est essentiellement la même définition que ci-dessus, mais vous prenez $A=\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. Cependant, un point est un point limite pour une séquence si tous les indices après un certain$n$sont dans n'importe quel quartier. Officiellement:
Un point $x$ est la limite d'une séquence $\{x_n\}$ si n'importe quel quartier $S$ de $x$ est tel qu'il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $x_n \in S$ pour tous $n>N$.
Et c'est plus fort que d'être simplement un point d'accumulation: vous pouvez voir la différence en considérant la séquence $x_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$. Tout quartier de$1$ contient une infinité de points de cette séquence, à savoir tous les $x_{2n}$ après un certain $n$. De même, tout quartier de$-1$ contiendra tous les $x_{2n+1}$ après un certain $n$, donc les deux $1$ et $-1$ sont des points de cluster pour $x_n$. Cependant, il n'y a pas de limite (en fait, les limites sont uniques, si elles existent).
Il y a une différence entre la limite et le point limite. Le concept est défini pour les séquences et les fonctions mais le point limite est défini pour les ensembles, comme mentionné dans la réponse ci-dessus. Une séquence peut avoir un point limite mais pas de limite. Par exemple, laissez$\{a_n\}$ est défini comme $$1+\frac{1}{n} , (-1)+ \frac{1}{n},... $$ Cette $a_n=1+\frac{1}{n} $ pour les n impairs et $a_n=-1+\frac{1}{n} $pour des égales. Dans cette séquence à la fois$1$ et $-1$ sont des points limites mais la séquence n'est pas convergente et il n'y a pas de limite.