Construire un isomorphisme entre deux corps finis d'ordre 25.

Jan 02 2021

Les champs en question sont \ begin {equation *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1), \ \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}). \ end {equation *} Je sais qu'il y a un isomorphisme entre les champs ci-dessus car ce sont des champs finis du même ordre. Mon idée était de trouver un générateur du groupe d'unités de chaque champ, et de construire un isomorphisme en mappant un générateur à l'autre.

Je l'ai trouvé $x+2$ génère $(\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1))^{\times}$ et $1+\sqrt{2}$ génère $\mathbb{F}_5(\sqrt{2})^{\times}.$ Ensuite, appelez la carte $\varphi$, J'envoie $x+2$ à $1+\sqrt{2}$ ce qui donne, après réarrangement, $\varphi(x)=\sqrt{2}+4$ où j'ai également utilisé que tout isomorphisme doit fixer le champ de base $\mathbb{F}_5$. Le problème est que la carte\begin{align*} \varphi:&\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1)\longrightarrow \mathbb{F}_5(\sqrt{2})\\ &a+bx \mapsto a+4b+b\sqrt{2} \end{align*} ne satisfait pas $\varphi(fg)=\varphi(f)\varphi(g)$ pour tous $f,g \in \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1).$ Est-ce dû au fait que l'approche générale est incorrecte?

Réponses

3 carraig Jan 04 2021 at 00:14

Nous remarquons que $\omega$, troisième racine primitive de l'unité, a comme polynôme minimum $f(x)=x^2+x+1 \in \mathbb{F}_5[x]$. Comme$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},$ cela donne l'isomorphisme suivant $\varphi:$ \begin{align*} \varphi: \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1) &\longrightarrow \mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})\\ g(x)&\longmapsto g(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}). \end{align*} cependant, $-3=2 \in \mathbb{F}_5$ et $\mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})=\mathbb{F}_5(\sqrt{-3})$donc \ begin {équation *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1) \ cong \ mathbb {F} _5 (\ frac {-1+ \ sqrt {-3}} {2 }) = \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}). \ end {équation *}