Convergence des points fixes comme conséquence de la convergence ponctuelle?

Question

Configuration: laissez$p := p(n)$ être tel que $\lim_{n \to \infty} pn = \lambda > 0$et supposons $f_n(t) := (1 + (t-1)p)^n$, avec domaine $[0, 1]$.

Objectif: j'essaye de montrer que si$\theta_n$ est un point fixe de $f_n$: $$ \theta_n = f_n(\theta_n), \quad \text{for all}~n, $$ puis $\theta_n$ converge et sa limite $\theta$ résout $e^{\lambda(\theta - 1)} = \theta$.

Ce que j'ai essayé: je peux voir ça$\theta \mapsto e^{\lambda(\theta - 1)}$ est une fonction croissante de $\theta$et donc le point fixe est unique. De plus, pour$\epsilon > 0$ et $n$ assez grand, nous pouvons fournir l'estimation $$ (1 - \epsilon)\lambda \leq pn \leq (1 + \epsilon)\lambda. $$ Par conséquent, pour $n$ suffisamment grand: on a la relation sandwich $$ \left(1 + \lambda\frac{(t-1) - \epsilon}{n} \right)^n \leq f_n(t) \leq \left(1 + \lambda\frac{(t-1) + \epsilon}{n} \right)^n, \quad \mbox{for}~t \in [0, 1]. $$ Et donc en prenant des limites, $e^{\lambda((t-1) - \epsilon)} \leq \lim_n f_n(t) \leq e^{\lambda((t - 1) + \epsilon)}$, et en prenant $\epsilon\downarrow 0$, on voit ça $f_n \to f$ point par point sur $[0, 1]$, où $f(t) := e^{\lambda (t- 1)}$.

Intuitivement, il semble que depuis $\lambda > 0$, finalement $f_n$ ont des points fixes uniques et donc depuis $f_n \to f$, Il paraît que $\theta_n \to \theta$ devrait suivre, mais je ne sais pas comment le montrer.

Commentaire concernant la convergence uniforme. Supposer que$f_n \to f$ uniformément sur $[0, 1]$. Puis laissez$\epsilon > 0$ et définir $$ \delta(\epsilon) := \inf_{t : |\theta - t| \geq \epsilon} |t - f(t)|. $$ Depuis $f$ est continue et $\theta$ est le point fixe unique de $f$, il s'ensuit que $\delta(\epsilon) > 0$. Maintenant, laisse$n$ être assez grand pour que $\|f_n - f\|_{\infty} < \delta(\epsilon)$. Notez que$|\theta_n - \theta| <\epsilon$. (Sinon, alors:$$ \delta(\epsilon) \leq |f(\theta_n) - \theta_n| \leq |f_n(\theta_n) - f(\theta_n)| + |f_n(\theta_n) - \theta_n| < \delta(\epsilon) + |f_n(\theta_n) - \theta_n|. $$ Donc en annulant les termes, nous obtenons une contradiction avec le fait $\theta_n$ est un point fixe de $f_n$.) En assemblant les pièces, nous voyons que pour chaque $\epsilon > 0$, nous avons $|\theta_n - \theta| <\epsilon$, pour suffisamment grand $n$, d'où $\theta_n \to \theta$.

Conséquence: il suffit de montrer que$f_n \to f$ uniformément.

Answer 1

Votre estimation de l'argument sandwich est déjà essentiellement uniforme. À savoir,$$e^{\lambda((t-1)+\epsilon)} - e^{\lambda((t-1)-\epsilon)} = e^{\lambda(t-1)} (e^{\lambda \epsilon} - e^{-\lambda \epsilon}).$$ Comme $\epsilon \to 0$, le côté droit devient $1-1=0$.

Edit: Quelques détails supplémentaires. Il existe probablement une manière plus propre de l'organiser.

Laisser \begin{align*} L_{\epsilon, n}(t) &:= (1+\lambda \frac{(t-1)-\epsilon}{n})^n, \\ U_{\epsilon, n}(t) &:= (1+\lambda \frac{(t-1)+\epsilon}{n})^n, \\ L_\epsilon(t) &:= \exp(\lambda((t-1)-\epsilon), \\ U_\epsilon(t) &:= \exp(\lambda((t-1)+\epsilon). \end{align*} Pour chaque fixe $\epsilon>0$, nous avons $L_{\epsilon, n}(t) \to L_\epsilon(t)$ uniformément comme $n \to \infty$, depuis \begin{align*} \log\left(1+\lambda\frac{(t-1)-\epsilon}{n}\right)^n &= n\log\left(1+\lambda\frac{(t-1)-\epsilon}{n}\right) \\ &= n\left(\lambda\frac{(t-1)-\epsilon}{n} + O\left(\left(\lambda\frac{(t-1)-\epsilon}{n}\right)^2\right)\right) \\ &= \lambda(t-1)-\epsilon + O(1/n). \end{align*}

également $U_{\epsilon, n}(t) \to U_\epsilon(t)$ uniformément comme $n \to \infty$. Comme indiqué,$U_\epsilon(t) - L_\epsilon(t) \to 0$ uniformément comme $\epsilon \to 0$.

Nous avons \begin{align*} |f_n - f| &\leq |f_n - L_{\epsilon, n}| + |L_{\epsilon, n} - L_\epsilon| + |L_\epsilon - f| \\ &\leq |U_{\epsilon, n} - L_{\epsilon, n}| + |L_{\epsilon, n} - L_\epsilon| + |L_\epsilon - U_\epsilon| \\ &\leq |U_{\epsilon, n} - U_\epsilon| + |U_\epsilon - L_\epsilon| + |L_\epsilon - L_{\epsilon, n}| + |L_{\epsilon, n} - L_\epsilon| + |L_\epsilon - U_\epsilon|. \end{align*} Pour chaque $\delta>0$, il y en a $\epsilon>0$ tel que $|U_\epsilon - L_\epsilon| < \delta$, et pour cela $\epsilon$, pour assez grand $n$ nous avons $|L_{\epsilon, n} - L_\epsilon|, |U_{\epsilon, n} - U_\epsilon| < \delta$. Par conséquent$f_n \to f$ uniformément sur $[0, 1]$.

Cette dernière séquence d'inégalités semble redondante, mais je n'ai pas pu trouver rapidement un moyen plus propre, et cela fonctionne.