Correspondance d'extension Kummer sans racines d'unité (Serge Lang)

Jan 07 2021

J'essaye de résoudre le problème suivant.

Laisser $k$ être un champ de caractéristique $0$. Supposons que pour chaque extension finie$E$ de $k$, l'index $(E^* : E^{*n})$est fini pour tout entier positif n. Montrez que pour chaque entier positif$n$, il n'existe qu'un nombre fini d'extensions abéliennes de $k$ de diplôme $n$.

Si $k$ contient une racine n-ième primitive d'unité, on pourrait utiliser la correspondance un-à-un de l'extension abélienne de $k$ de l'exposant n et des sous-groupes de $k^*$ contenant les n-ièmes puissances des éléments non nuls de $k$. Pour ce cas, l'un des moyens de résoudre est comme dans la réponse de ce post: Trouvez la bijection entre le champ de Kummer et le sous-groupe de Galois .

Mais pour $k$ ne contenant pas les n-ièmes racines de l'unité, avons-nous une sorte de correspondance entre, disons, l'extension abélienne de $k$ de l'exposant m et de l'extension abélienne de $k(\zeta)$ de l'exposant n, d'où $\zeta$ est une racine n-ième primitive de l'unité?

J'ai observé qu'une extension abélienne de $k$ de l'exposant n n'a pas plus de degré d'extension que le degré d'extension sur $k(\zeta)$ de l'extension abélienne de $k(\zeta)$ d'exposant n généré par le même ensemble, multiplié par $\varphi(n)$, d'où $\varphi(n)$ désigne la fonction Euler.

Une autre observation: supposer $k$ne contient pas les n-ièmes racines de l'unité. Soit H un sous-groupe de$k^*$ contenant les n-ièmes puissances des éléments non nuls de $k$, puis $H$ et $\zeta^j$ ensemble génère un sous-groupe de $k(\zeta)^*$ contenant les n-ièmes puissances des éléments non nuls de $k(\zeta)$.

Réponses

1 J.P.Gimori Jan 09 2021 at 03:56

Laisser $L/k$ être le compositum de toutes les extensions abéliennes de diplôme au plus $n$ plus de $k(\zeta_n)$. Puisque$k$ a la caractéristique zéro, $L/k$est séparable. Puis, depuis$k(\zeta_n)$ a tout $n$-th racines de l'unité, vous savez déjà que $L/k$est fini. Si$E/k$ est une extension abélienne du diplôme $\leq n$, puis $E(\zeta_n)$ est une extension abélienne de $k(\zeta_n)$ de diplôme $\leq n$, Par conséquent $E\subset E(\zeta_n) \subset L$. Puisque$L/k$est séparable, il contient au plus un nombre fini de sous-extensions. D'où l'ensemble des possibles$E$ est fini.