Dérivée fonctionnelle avec variable discrète

Question

Problème

$$\text{Find}\quad\frac{\delta F_k}{\delta G} \quad \text{given} \quad F_k=\left(\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int_{-\infty}^{\infty} dt \ e^{i\omega t} G(r,t)\right)^{-1}$$

en notant que $k$ et $r$ sont discrets tandis que $\omega$ et $t$ sont continus.

Contexte

J'essaye de montrer ça $F_k[G(r,t)]$ est très sensible aux perturbations dans $G(r,t)$. Par un travail numérique, je sais que c'est (souvent) le cas. En fin de compte, j'aimerais soutenir que la construction$F_k$ en mesurant $G(r,t)$ne fonctionnera pas bien lorsque la mesure est bruyante. J'ai trouvé un bon moyen de montrer que c'était de calculer le dérivé fonctionnel et de montrer qu'il devient grand (ou peut-être diverge) à certains endroits. Cependant, je fais quelque chose de mal.

Tentative

Par la définition ici :

$$\frac{\delta F_k}{\delta G}:\int dt \frac{\delta F_k}{\delta G}\eta(t)=\left[\frac{d}{d\epsilon}\left(\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int dt \ e^{i\omega t} G(r,t)+\epsilon\eta(t)\right)^{-1}\right]_{\epsilon=0}$$

En utilisant la règle de la chaîne, $\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}=N\delta_{k,0}$ c'est-à-dire le delta de Kronecker, et la définition $G(k,\omega)\equiv\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int dt \ e^{i\omega t} G(r,t)$ transforme ce qui précède en

$$\frac{-\int dt\sum_{r=0}^{N-1} e^{i(kr+\omega t)}\eta(t)}{\left(\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int dt \ e^{i\omega t} G(r,t)\right)^{2}}=\int dt\frac{-\delta_{k,0} \ e^{i\omega t}}{G(k,\omega)^2}\eta(t)\to \frac{\delta F_k}{\delta G(r,t)}=\frac{-\delta_{k,0} \ e^{i\omega t}}{G(k,\omega)^2}$$

Je sais que c'est faux parce que ces chiffres montrent que ce n'est pas $0$ pour tous $k\neq 0$. Je soupçonne que le problème a quelque chose à voir avec$\eta$ seulement en fonction de $t$ et pas $r$, mais je ne sais pas comment tenir compte d'une variable discrète comme $r$.

Résolution?

Je pense que ma compréhension de la définition ci-dessus est probablement erronée et a probablement besoin d'une fonction de test qui dépend des deux $r$ et $t$? Je serais assez jazzé si la bonne façon de faire ressemblait à quelque chose comme

$$\frac{\delta F_k}{\delta G}:\sum_{r=0}^{N-1}\int dt \frac{\delta F_k}{\delta G}\eta(r,t)=\left[\frac{d}{d\epsilon}F_k\left[G(r,t)+\epsilon\eta(r,t)\right]\right]_{\epsilon=0}$$

mais mes calculs sont trop faibles pour affirmer que c'est la bonne façon, même si cela semble avoir un sens (pour moi). Je ne sais vraiment pas comment gérer le fait que$r$est discret. Si ce qui précède est correct, cela donnerait

$$ \frac{\delta F_k}{\delta G(r,t)}=\frac{-e^{i(\omega t+kr)}}{G(k,\omega)^2} $$

c'est ce que j'espérais montrer depuis $G(k,\omega)=0$ pour au moins un $\omega$ À chaque $k$.

Cherchant

L'un des éléments suivants

1. $\dfrac{\delta F_k}{\delta G}$
2. Comment aborder ces dérivés fonctionnels?
3. Quel est le problème avec ma tentative?
4. Confirmer / refuser l'exactitude de ma «résolution».

Merci d'avance!

Answer 1

Je ne répondrai pas à vos questions dans leur ordre antérieur, pour éventuellement mieux répondre.

1. Comment aborder ces dérivés fonctionnels?

L'approche que vous avez adoptée (bien qu'avec quelques feuillets comme nous le verrons ci-dessous) est la bonne, c'est-à-dire $$ \frac{\delta F_k }{\delta G}[G](\eta) \triangleq DF_k[G](\eta) \triangleq \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d \epsilon}} F_k(G+\epsilon \eta)\right|_{\epsilon=0}\label{1}\tag{1} $$ Les calculs doivent être effectués car la main droite était fonction de la variable réelle $\epsilon$: la définition ne dépend pas de la façon dont la fonction $F_k$ agit sur son argument $G(r,t)$, est donc indépendante de la discrétion et / ou de la continuité des variables impliquées. Nous verrons ci-dessous que la discrétion et la finitude des valeurs de la variable$r= 0, 1, \ldots, N-1$, dans ce cas particulier, peut être traité efficacement en représentant l'argument $G$ et la variation $\eta$ comme vecteurs dans un $N$-espace dimensionnel, mais cela n'est en aucun cas impliqué par la structure de l'équation \ eqref {1} elle-même.
La structure des dérivés fonctionnels est illustrée en détail dans ce Q&R : pour les raisons qui y sont données, vous verrez qu'il n'est pas sûr de faire confiance à l'entrée de Wikipédia sur le sujet.

1. Quel est le problème avec ma tentative?

Le glissement principal qui se fait habituellement (comme dans ce cas et dans cet autre ) est de s'attendre à ce que ce type de dérivé ait la structure d'une fonction: il n'en est presque jamais ainsi. Habituellement, les dérivés fonctionnels sont des opérateurs qui mappent une variation$\eta$ de l'argument $G$de la fonctionnelle à la variation de la valeur correspondante de la fonctionnelle elle-même. En répondant plus largement à ce point de la question question,

1. vous envisagez des variations du single $t$ variable: ce n'est pas une erreur absolue, car vous pouvez le faire licitement si vous êtes sûr que la fonction d'entrée $G=G(r,t)$ ne peut pas changer sa valeur "aléatoirement" si la variable discrète $r$est maintenu constant. Cependant, puisque vous essayez d'analyser les performances de$F_k$ sur les entrées bruyantes, vous devriez envisager la possibilité d'avoir $\eta=\eta(r,t)$ pour $r=0, 1,\ldots,{N-1}$, et
2. vous vous attendez à ce que la dérivée fonctionnelle soit une fonction, alors que c'est un opérateur intégral: voir cela vous aidera à évaluer la variation de votre fonctionnelle lorsqu'elle est soumise à des entrées bruyantes.

1. $\dfrac{\delta F_k}{\delta G}$

Formellement, en mettant $$ \begin{split} &\mathbf{r} =(0, 1, \ldots, {N-1}),\\ & e^{ik\mathbf{r}} =\big(1, e^{ik}, \ldots, e^{ik{(N-1)}}\big), \\ & \eta(\mathbf{r}, t) =\big(\eta(0,t), \eta(1,t), \ldots, \eta({N-1},t)\big), \end{split} $$ on peut écrire la dérivée fonctionnelle de $F_k$ comme $$ \begin{split} \frac{\delta F_k}{\delta G}[G](\eta) &= DF_k[G](\eta)\\ & =-\frac{{1}}{G(k,\omega)^2}\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr} \int \eta(r, t)\;e^{i\omega t} \mathrm{d}t\\ & = -\frac{{1}}{G(k,\omega)^2} \int \left\langle e^{ik\mathbf{r}}, \eta(\mathbf{r}, t)\right\rangle e^{i\omega t} \mathrm{d}t \end{split}\label{2}\tag{2} $$ où $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle:\Bbb R^N\times\Bbb R^N \to\Bbb R$est le produit scalaire ordinaire. En utilisant l'équation \ eqref {2} et un choix approprié de la variation$\eta(r,t)$, vous pourrez analyser la sensibilité de $F_k$ à des variations particulières de sa fonction argument $G$.

1. Confirmer / refuser l'exactitude de ma «résolution».

Votre résolution est "presque correcte" dans le sens où, après avoir exécuté correctement la dérivée, vous devez choisir une variante appropriée $\eta(\mathbf{r}, t) =\big(\eta(0,t), \eta(1,t), \ldots, \eta({N-1},t)\big)$afin d'obtenir votre résultat. Et évidemment, votre choix doit être cohérent avec le problème auquel vous faites face.