Déterminer l'anneau local d'une courbe
Déterminez l'anneau local $\mathcal{O}$ à $(0,0,0)$ de la courbe constituée des trois axes de coordonnées dans $\mathbb{A}^3$. Ensuite, déterminez l'anneau local à$(0,0)$ de la courbe $xy(x - y)= 0$ et prouver que cette seconde courbe n'est pas isomorphe à la première.
Ma tentative Par définition de l'anneau local,$\mathcal{O}$ car la première courbe est l'ensemble de toutes les fonctions rationnelles $f/g$ tel que $g$ne disparaît pas sur trois axes. Comme pour la deuxième courbe, l'anneau local est l'ensemble de toutes les fonctions rationnelles$f/g$ tel que $g$ ne disparaît pas à $x=0$ ou $y=0$ ou $x=y$. Est-ce vraiment ce que demande l'exercice ou une description plus précise de l'anneau est nécessaire ici? Je n'arrive pas à penser à aucun, cependant. A propos de l'isomorphisme entre les deux courbes, j'ai pensé utiliser le fait que l'espace tangent est un invariant local: en montrant que les deux espaces tangents sont différents, j'aurais prouvé que les deux courbes ne peuvent pas être isomorphes. Serait-ce la bonne voie? Des indices?
Réponses
L'anneau local en un point, par définition, est la localisation de l'anneau de coordonnées à l'idéal maximal correspondant au point. Donc, par exemple, l'origine en$xy,yz,zx=0$ dans $\mathbb{A}^3$, $$\mathcal{O}_{X,0}=\big(\mathbb{C}[x,y,z]/(xy,yz,zx)\big)_{(x,y,z)}$$ Puis en utilisant le fait que la localisation commute avec des quotients, et que la localisation pour $\mathbb{C}[x,y,z]$ à $(x,y,z)$ est simplement le sous-titrage $$\{f/g\,|\,f,g\in\mathbb{C}[x,y,z],\,g(0,0,0)\not=0\}\subset\mathbb{C}(x,y,z),$$ nous obtenons la description $$\mathcal{O}_{X,0}=\{f/g\,|\,f,g\in\mathbb{C}[x,y,z]\text{ that kills }xy,yz,zx,\,g(0,0,0)\not=0\}.$$ De même $$\mathcal{O}_{Y,0}=\{f/g\,|\,f,g\in\mathbb{C}[x,y]\text{ that kills }xy(x-y),\,g(0,0,0)\not=0\}.$$Montrer que ces deux anneaux ne sont pas isomorphes est généralement difficile. Vous devez toujours rechercher des types d'invariants différents des deux côtés. L'espace tangent est très bon, car généralement la dimension (en tant qu'espace vectoriel) peut différer.
Cependant, il y en a un beaucoup plus important ici, et je vais essayer de l'expliquer intuitivement:
Pensons d'abord aux points triples spatiaux. Comment puis-je obtenir une fonction sur l'ensemble à partir des fonctions de chaque pièce? Eh bien parce que les trois lignes sont$\mathbb{A}^3$, il y a suffisamment de fonctions (en tant que fonction globale) pour s'accorder avec chaque composant. Tant que les trois petites fonctions concordent à l'origine, je devrais pouvoir les recomposer pour obtenir une fonction globale.
Qu'en est-il des points triples planaires? C'est différent: vous ne pouvez pas espérer que trois fonctions sur les trois pièces se collent à une fonction globale, car il n'y en a pas beaucoup! Les trois fonctions peuvent ne pas être compatibles en raison des contraintes de$\mathbb{A}^2$. En particulier, ceci est un exemple de ce qu'on appelle une singularité elliptique, et vous avez besoin d'une condition supplémentaire en plus d'être d'accord à l'origine pour qu'ils se collent.
Le calcul approprié ici est le $\delta$-invariant d'une singularité, qui est définie comme étant la dimension de $\pi_*(\mathcal{O}_{\tilde{C}})/\mathcal{O}_C$ où $\pi:\widetilde{C}\to C$est la normalisation. Ce sera différent dans les deux cas ici.
Si vous utilisez un espace tangent, les deux définitions que vous donnez sont les mêmes. le$(\mathcal{m}/\mathcal{m}^2)^\vee$est généralement appelé espace tangent de Zariski. En particulier, dans la localisation de$X$, l'idéal maximal unique est $(x,y,z)$, et $m/m^2=(x,y,z)/(x^2,xy,xz,y^2,yz,z^2)$ qui est en 3 dimensions comme un $k$-espace vectoriel. D'autre part dans$Y$, $m/m^2=(x,y)/(x^2,y^2,xy)$est en 2 dimensions. Alors oui, ils sont vraiment différents.