Différence conceptuelle entre le coefficient multinomial et le coefficient de Bose-Einstein: compter les succès d'un dé à 6 faces lancé n fois?

Question

Salut donc j'ai du mal à comprendre la différence entre le théorème de Bose-Einstein et le coefficient multinomial et quand les utiliser séparément?

Donc le problème sur lequel j'ai dû travailler était "un groupe de 30 dés sont lancés, combien de façons différentes y a-t-il pour que 5 de chacune des valeurs apparaissent sur un dé à 6 faces (1,2,3,4,5,6 ) lancé 30 fois? "

donc le coefficient multinomial, c'est de compter le nombre de côtés (1-6) qui apparaissent en 30 lancers. $\frac{30!}{5!^{6}}$.

Cela équivaut à dire 30! total des façons de commander les dés, cependant nous ne nous soucions pas de l'ordre dans lequel les 5 faces apparaissent et doivent corriger pour les 5! façons dont un visage donné apparaît puisque nous ne nous soucions pas de l'ordre d'un visage / côté particulier.

cependant la formule de Bose-Einstein, compte le nombre total de $k$ particules indiscernables qui sont à l'intérieur $n$«bacs» distinctifs. Ainsi, par exemple, dans ce cas, si chaque côté du dé était un bac distinctif (1, 2, 3, 4, 5, 6), et nous sommes intéressés par le `` décompte '' du nombre de fois qu'un bac a été sélectionné en 30 jette, est-ce que ça ne cédera pas$35\choose{30}$moyens totaux de distribuer les 30 lancers à travers les bacs / faces? pourtant ceux-ci sont très différents!

Veuillez m'aider à comprendre les différences entre ces approches.

Answer 1

Les dés jouent le rôle de boules et les côtés jouent le rôle de cellules. Il y a$r=30$ des lancers de dés qui pourraient décrocher n'importe laquelle des valeurs $1,2,3,4,5,6$ c'est à dire $n=6$cellules. Nous choisissons de traiter les dés comme distinctifs, simplement parce que la séquence$1111122222333334444455555$ est distinct de $5555544444333332222211111$.

Il y a $30!$ permutations de $30$dés distincts. Comme vous l'avez souligné, si nous prenons une séquence par exemple$111112222233333444445555566666$, correspondant à chaque séquence il y a $(5!)^6$des arrangements qui laissent l'aspect extérieur de la séquence inchangé. Par conséquent, la division par$(5!)^6$. Alors,$\frac{30!}{5!5!5!5!5!5!}$ sont le nombre d'arrangements distinctifs de cinq 1, cinq 2, cinq 3, cinq 4, cinq 5 et cinq 6.