Distinction des hyperreals avec des ensembles

Question

Laisser $^\ast\mathbb{R}$ être l'ensemble des hyperreals, construit comme un ultraproduit non principal sur les réels, et laissez $x\in {^\ast\mathbb{R}}$ et $y\in {^\ast\mathbb{R}}$être deux nombres hyperréels différents. Y a-t-il toujours un vrai ensemble$A\subset\mathbb{R}$ tel que $x \in {^\ast A}$ mais $y\notin {^\ast A}$?

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Ce problème peut être posé sans mentionner les hyperreals: Soit $\mathcal U$ être un ultrafiltre (non principal) sur $\mathbb N$ et laissez $(x_n)$ et $(y_n)$ être de vraies séquences telles que $\{n: x_n \neq y_n\} \in \mathcal U$. Y a-t-il un ensemble$A \subset \mathbb R$ tel que $\{n: x_n \in A\} \in \mathcal U$, mais $\{n: y_n \in A\} \notin \mathcal U$?

Je ne connais presque rien sur le sujet, je n'ai donc exclu que deux approches simples:

• Si $N:=\{n: x_n \neq y_n\}$, puis $A := \{x_n: n\in N\}$ n'a pas à être comme demandé: considérez, par exemple, $(x_n) = (0,1,0,1,\dots)$ et $(y_n) = (1,0,1,0,\dots)$ avec $N = \mathbb N$ et $A = \{0,1\}$. (Cette approche pourrait être utile s'il y avait des "suffisamment petits"$N\in \mathcal U$ tel que $x_n \neq y_n$ pour tous $n\in N$.)
• Les séquences $(x_n) = (1/n)$ et $(y_n) = (1/(n+1))$ ne sont pas un contre-exemple: Soit $E$ être l'ensemble des nombres naturels pairs et supposer, wlog, $E \in \mathcal U$. Laisser$A := \{1/n: n\in E\}$. ensuite$\{n: x_n \in A\} = E \in \mathcal U$ et $\{n: y_n \in A\} = \mathbb N\setminus E \notin \mathcal U$ (depuis $\mathcal U$ est un ultrafiltre).

Toutes les informations correspondantes sur les hyperreals ou les ultrafiltres sont les bienvenues!

Answer 1

Supposons que chaque fois $x=\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ et $y=\langle y_n:n\in\Bbb N\rangle$ sont des séquences dans $\Bbb N$ tel que $(\mathscr{U}n)(x_n\ne y_n)$, il y a un $A\subseteq\Bbb N$ tel que $(\mathscr{U}n)(x_n\in A)$ et $(\mathscr{U}n)(y_n\notin A)$, où $(\mathscr{U}n)\varphi(n)$ abrégé $\{n\in\Bbb N:\varphi(n)\}\in\mathscr{U}$, et laissez $x$ et $y$être une telle paire de séquences. Puis il y a un$U\in\mathscr{U}$ tel que

$$\{x_n:n\in U\}\cap\{y_n:n\in U\}=\varnothing\,.\tag{1}$$

Visualisation $x$ et $y$ comme fonctions de $\Bbb N$ à $\Bbb N$, on peut réécrire $(1)$ comme $x[U]\cap y[U]=\varnothing$. Laisser

$$\mathscr{X}=x(\mathscr{U})=\{X\subseteq\Bbb N:x^{-1}[X]\in\mathscr{U}\}$$

et

$$\mathscr{Y}=y(\mathscr{U})=\{Y\subseteq\Bbb N:y^{-1}[Y]\in\mathscr{U}\}\,;$$

$\mathscr{X}$ et $\mathscr{Y}$ sont des ultrafiltres sur $\Bbb N$, $x[U]\in\mathscr{X}$, et $y[U]\in\mathscr{Y}$, alors $\mathscr{X}\ne\mathscr{Y}$.

Donc, $x(\mathscr{U})\ne y(\mathscr{U})$ n'importe quand $x\ne y\pmod{\mathscr{U}}$, et $\mathscr{U}$est donc un ultrafiltre Hausdorff sur$\Bbb N$. Malheureusement, dans l'article sur le lien Bartoszynski et Shelah montrent qu'il est cohérent qu'il n'y ait pas d'ultrafiltres Hausdorff sur$\Bbb N$, il est donc au moins cohérent que la réponse à votre question est non .