Est-ce que cette séquence $a_n$ délimité?

Question

Je suis tombé sur cette question il y a quelque temps:

Laisser $f : \mathbb{R} → \mathbb{R}$ être une fonction différentiable telle que sa dérivée $f'(x)$. est une fonction continue. De plus, supposons que pour tous$x \in \mathbb{R}$, $$0 \leq |f'(x)| \leq \frac{1}{2}.$$ Définir une séquence de nombres réels $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ tel que $$a_1=1$$ $$a_{n+1} = f(a_n) $$pour tous $n \in \mathbb{N}$. Prouver qu'il existe un nombre réel positif$M$ tel que pour tous $n \in \mathbb{N}$, $$|a_n| \leq M.$$

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Ma tentative:

Nous utilisons le théorème de la valeur moyenne. $$\frac{f(a_n)-f(a_{n-1})}{a_n-a_{n-1}} = f'(x)$$ pour certains $x \in [a_n,a_{n-1}]$. Nous savons que$-\frac{1}{2} \leq f'(x)\leq \frac{1}{2}$, Par conséquent $$-\frac{1}{2} \leq\frac{f(a_n)-f(a_{n-1})}{a_n-a_{n-1}} \leq \frac{1}{2}.$$ En simplifiant, on trouve que $|a_{n+1} - a_n| \leq \frac{|a_n-a_{n-1}|}{2}$.

Ici, nous définissons une séquence $x_n = |a_{n+1} -a_n|.$ Il est facile de voir que $x_n \leq \frac{x_{n-1}}{2}$ ce qui implique que $$ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 0$$ Ce qui signifie que $|a_{n-1} - a_n|$ est arbitrairement petit et croît plus lentement que $\{X_n : X_n = \Sigma \frac{1}{2^n} \}$. Par conséquent, la séquence doit converger vers une limite finie, disons$L$. Nous choisissons$M = L+1$.

QED.

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Cette preuve est-elle correcte? J'ai quelques scrupules à ce sujet, mais quelques-uns de mes pairs l'ont regardé et n'ont pas pu y trouver de problème. S'il vous plaît, aidez-moi avec un coup de pouce dans la bonne direction s'il s'avère qu'il y a une erreur.

Answer 1

Vous avez essentiellement prouvé que $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty |a_{k+1} - a_k|$converge. Ça signifie$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (a_{k+1} - a_k)$ converge également, et si vous définissez $$L = a_1 + \sum_{k=1}^\infty (a_{k+1} - a_k)$$ vous obtenez $$L - a_n = \sum_{k=n}^\infty (a_{k+1} - a_k)$$ pour tous $n$, et en particulier $$|L - a_n| \le \sum_{k=n}^\infty |a_{k+1} - a_k| \to 0$$ comme $n \to \infty$.

Answer 2

Astuces: utilisez le fait, pour $m\gt n $, $|a_{m}-a_{n}|\le |a_{m}-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdot\cdot\cdot+|a_{n+1}-a_{n}|\le \frac{1}{2^{m-1}}+\frac{1}{2^{m-2}}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2^{n}} $

La série du côté droit est une série GP avec ratio $\frac{1}{2}$.