Évaluation 2-adic de $5^{2^{k-2}}-1$

Question

J'ai l'exercice suivant:

1. Considérez que l'évaluation 2-adique de $x$ est $k \geq 2$. Démontrer que l'évaluation 2-adique de$(1+x)^2- 1$ est $k+1$.

2. En utilisant la question précédente, concluez que pour $k\geq 2$, la valorisation 2-adique de $5^{2^{k-2}}-1$ est $k$.

Pour la première question, nous savons que $(1+x)^2 - 1= x(x+2) $. Donc,$$v_2((1+x)^2-1) = v_2(x)+\min(v_2(x),v_2(2))= k+1.$$

Pour la dernière question, j'ai essayé plusieurs méthodes mais je n'ai pas fonctionné. Quelqu'un peut-il me donner un indice s'il vous plaît?

Merci!

Answer 1

1. Si $v_2(x)=k\ge 2$ puis $v_2(x+2)=1$ et $v_2( (1+x)^2-1)=v_2 (x(x+2)) =v_2 (x)+v_2(x+2) =k+1$.

2. Laisser $x_{k+2}=5^{2^k}-1=(1+x_{k+1})^2-1, v_2(x_2)=2$, par induction si $v_2(x_k)=k$ puis $v_2(x_{k+1})=k+1$.