Évaluation du Lebesgue Integral

Question

J'ai du mal avec le deuxième point de cette question et je ne suis pas tout à fait sûr d'avoir bien fait le premier alors:

Pour $x\in\mathbb{R} - \{0\}$, laisser $f_n(x) = \frac{1}{(1 + n^2 + x^2)(\arctan (x^2))^{1/n}}$, $n \in\mathbb{N} - \{0\}$

(i) déterminer pour quel $n ∈ \mathbb{N}, f_n$ ∈ $L^1(\mathbb{R})$

(ii) évaluer $\lim_{n\to \infty}$ $\int_{\mathbb{R}} f_n \,dm$;

Pour la première partie, je remarque que le $f_n$ sont ae continues, ce qui implique qu'elles sont mesurables, et que les fonctions sont paires, donc je peux restreindre mon analyse à $[0, \infty )$.

Puis quand $x\rightarrow\infty, \, f_n \sim \frac1{x^2\bigl({\pi\over2} \bigr)^{1 \over n}} \le {1 \over {x^2}}$ donc je peux dire que l'intégrale converge pour chaque $n\in\mathbb{N} - \{0\}$

Au lieu de cela quand $x \rightarrow 0$, $f_n \sim \frac1{(1+x^2)x^{2 \over n}} \le {1 \over {x^{2\over n}}}$ qui converge pour chaque $n \gt 2 $. Puis nous sommes arrivés au deuxième point, ici je n'ai pas pu trouver une majorante intégrale pour utiliser le théorème de convergence dominé de Lebesgue et je n'ai même pas été en mesure de déterminer s'il existe une chaîne du type$f_1 \le f_2 \le f_3 \le \cdots \le f_n \le \cdots$ afin d'utiliser le théorème de convergence monotone pour passer la limite sous signe d'intégrale et l'évaluer.

En plus je pense que l'intégrale au final est nulle car $\lim_{n\to \infty} f_n = 0$.

Merci beaucoup.

Answer 1

Notez simplement que pour tout $\epsilon \in(0,1)$ puis $0\leqslant f_n(x)\leqslant \frac1{(1+x^2)\arctan (\epsilon ^2) }$ pour tous $x\in \mathbb{R}\setminus (-\epsilon ,\epsilon )$ et tout $n\in \mathbb{N}$ donc le théorème de convergence dominé nous montre que $$ \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}\setminus (-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda =0 $$ Notez maintenant que $|x|/2\leqslant |\arctan x|$ pour tous $x\in (-\epsilon ,\epsilon )$. Donc$$ 0\leqslant \int_{(-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda \leqslant \int_{(-\epsilon ,\epsilon )}\frac2{n^2|x|^{2/n}}\mathop{}\!d x =\int_{(0,\sqrt[n]{\epsilon })}\frac4n y^{n-3}\mathop{}\!d y\leqslant \int_{(0,1)}\frac4n\epsilon ^{1-3/n}\mathop{}\!d y $$ Ensuite, le théorème de convergence dominé nous montre que $$ \lim_{n\to\infty}\int_{(0,\sqrt[n]{\epsilon })}\frac4n y^{n-3}\mathop{}\!d y=0\implies \lim_{n\to\infty}\int_{(-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda =0 $$ donc nous concluons que $\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}f_n\mathop{}\!d \lambda =0$.