Exercice maximal (Théorie des ensembles).

Question

Laisser $A$ et $B$ être des ensembles partiellement ordonnés, et laissez $f:A→B$être une fonction strictement croissante. Prouvez que si$b$ est l'élément maximal de $B$ , puis chacun de $f^*(b)$ est un élément maximal de A.

J'ai essayé de raisonner par absurdité, j'ai supposé que $ f ^ * (b) $ n'est pas un élément maximal de $ A $, mais je ne peux pas comparer un élément de $ a $ avec un sous-ensemble de $ A $, puisque $ f ^ * ( b) = f ^ {- 1} (\{b\}) $ ($ f ^ *(b)$ est un sous-ensemble de $ A $) Je ne sais pas comparer $ f ^ * (b) $ avec un élément de $ A $ utiliser ça $ f $ augmente.

Answer 1

"mais je ne peux pas comparer un élément de a avec un sous-ensemble de A"

Oui, vous pouvez.

Parce qu'un élément de$a\in f^*(b)$peut être un élément représentatif . Prouvez que si$a\in f^*(b)$ puis $a$ doit être maximal dans $A$.... Comme $a$ était totalement arbitraire dans $f^{*}(b)$il doit être vrai que tous les éléments de$f^*(b)$ sont maximales.

Et, oui, une preuve par contradiction est une excellente voie à suivre.

Présumer $a\in f^*(b)$ donc $f(a) = b$. Et assumer$a$n'est pas maximal en A. Il y a donc un$c \in A$ de sorte que $c > a$.

Ensuite......

$f(c) > f(a)=b$ car $f$augmente. Donc$f(c) > b$.

Answer 2

Prendre $x \in f^*(b)$. Si$x \leq y$, notre objectif est de prouver que $x=y$. Appliquer$f$ obtenir $b \leq f(y)$. Puisque$b$ est maximal, $b =f(y)$. Maintenant,$x\leq y$ signifie que soit $x<y$ ou $x=y$. Le premier cas est impossible, car$f$être strictement en augmentation conduirait à$b<b$. Ainsi il doit être$x=y$.