Exigence de généralisation universelle

Question

Gregory (Formal Logic, p. 244) déclare que l'une des conditions requises pour la généralisation universelle est que la variable $a$ n'apparaît pas dans la formule généralisée $\forall x P(x)$. Gregory dit aussi que si$a$ ne se produit pas dans $\forall x P(x)$, puis toutes les occurrences de $a$ dans la formule à généraliser doit être remplacée par la variable liée $x$ dans $\forall x P(x)$. Exemple:$P(a, a)$ ne peut pas être généralisé à $\forall x P(x, a)$, puisque $a$ apparaît dans $\forall x P(x,a)$ (pas toutes les occurrences de $a$ ont été remplacés par $x$).

Cependant, j'ai trouvé un contre-exemple possible: $P(a, a)$ ne peut pas être généralisé à $\forall x \forall y P(x, y)$. Évidemment,$a$ ne se produit pas dans $\forall x \forall y P(x, y)$. L'exemple me fait penser que le fait que$a$ ne se produit pas dans la formule généralisée ne peut pas être isolé comme une exigence de la généralisation universelle.

Gentzen (Enquêtes sur la déduction logique, p. 78) ne fait pas référence à l'occurrence $a$ dans $\forall x P(x)$comme une restriction à la généralisation universelle. Au lieu de cela, l'auteur cite l'arbitraire de$a$ et que "chaque occurrence de $a$ dans $P(a)$ doit être remplacé par un $x$ dans $\forall x P(x)$". Pour rendre cette restriction applicable à notre contre-exemple hypothétique, je suppose que nous devons interpréter que $a$doit être remplacé par une variable liée unique$x$ dans $\forall x P(x)$. Est-ce vrai?

Answer 1

Vous avez raison. La raison pour laquelle cela n'est pas dit à haute voix est que votre contre-exemple potentiel est en réalité deux généralisations que vous avez faites en une seule étape. Formellement, cela n'est pas autorisé.

Dis que tu as la formule $P(a,a)$ et vous voulez le transformer en $\forall x . \forall y . P(x,y)$. Ensuite, nous devons d' abord généraliser à$y$, puis à $x$.

Donc, pour construire votre contre-exemple, nous faisons vraiment ceci: $P(a,a) \rightsquigarrow \forall y. P(a,y) \rightsquigarrow \forall x . \forall y . P(x,y)$

Bien sûr, la séquence de généralisations ci-dessus n'est PAS autorisée, car nous n'avons pas généralisé toutes les occurrences de $a$ quand nous avons ajouté le $\forall y$.

Vous constaterez que si vous décomposez les généralisations à un quantificateur à la fois, la seule chose qui peut mal tourner est d'oublier accidentellement de renommer chaque occurrence de la variable quantifiée. Bien sûr, c'est exactement ce que dit la règle de la généralisation universelle.

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J'espère que cela aide ^ _ ^