Expliquer les dérivées directionnelles
J'essaie de comprendre le concept de la dérivée directionnelle, du point de vue de mon manuel de calcul multivarié. J'ai tapé un résumé de l'explication, avec les questions auxquelles je n'ai pas pu répondre en gras. Toutes les réponses intuitives, les réponses géométriques, les réponses physiques sont les bienvenues. Des réponses formelles et rigoureuses sont également les bienvenues. Des explications partielles (ne répondant qu'à une seule des questions, etc.) sont également les bienvenues!
Considérons le problème du calcul du taux de changement de $\phi$dans une direction particulière. Pour un déplacement vectoriel infinitésimal$d \mathbf{r},$ formant son produit scalaire avec $\nabla \phi$ on obtient $$ \begin{aligned} \nabla \phi \cdot d \mathbf{r} &=\left(\mathbf{i} \frac{\partial \phi}{\partial x}+\mathbf{j} \frac{\partial \phi}{\partial y}+\mathbf{k} \frac{\partial \phi}{\partial z}\right) \cdot(\mathbf{i} d x+\mathbf{j} d y+\mathbf{k} d x) \\ &=\frac{\partial \phi}{\partial x} d x+\frac{\partial \phi}{\partial y} d y+\frac{\partial \phi}{\partial z} d z \\ &=d \phi \end{aligned} $$ qui est le changement infinitésimal de $\phi$ en partant de la position $\mathbf{r}$ à $\mathbf{r}+d \mathbf{r} .$ En particulier, si $\mathbf{r}$ dépend de certains paramètres $u$ tel que $\mathbf{r}(u)$ définit une courbe spatiale puis la dérivée totale de $\phi$ par rapport à $u$ le long de la courbe est simplement $$ \frac{d \phi}{d u}=\nabla \phi \cdot \frac{d \mathbf{r}}{d u}. $$ Question 1: Comment avons-nous obtenu cela? Dois-je simplement diviser les deux côtés de$\nabla \phi \cdot d \mathbf{r} = d\phi$ par $du$? Je ne sais même pas si c'est une opération valide. Dans le cas particulier où le paramètre$u$ est la longueur de l'arc $s$ le long de la courbe, la dérivée totale de $\phi$ par rapport à $s$ le long de la courbe est donné par $$ \frac{d \phi}{d s}=\nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{t}} $$ où $\hat{\mathbf{t}}$est l'unité tangente à la courbe au point donné. Question 2: Alors pourquoi pas$\frac{d \phi}{d s} = 0$? Sûrement$\nabla \phi$ est perpendiculaire / tangente à la surface de $\phi$, donc ce sera perpendiculaire à $\hat{\mathbf{t}}$! En général, le taux de changement de$\phi$ par rapport à la distance $s$ dans une direction particulière, a est donné par $$ \frac{d \phi}{d s}=\nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{a}} $$ (Question 3: (question la plus brûlante) Je n'ai aucune idée de comment obtenir / comprendre le résultat ci-dessus / pourquoi le résultat ci-dessus tient. Aussi, dois-je penser $\nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{a}} = \nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{t}}?$) et s'appelle la dérivée directionnelle. Depuis$\hat{\mathbf{a}}$ est un vecteur unitaire que nous avons $$ \frac{d \phi}{d s}=|\nabla \phi| \cos \theta $$ où $\theta$ est l'angle entre $\hat{\mathbf{a}}$ et $\nabla \phi$. Clairement$\nabla \phi$ se situe dans le sens de l'augmentation la plus rapide de $\phi$ et $|\nabla \phi|$ est la plus grande valeur possible de $d \phi / d s$. Question 4: J'obtiens que la plus grande valeur possible de$d \phi / d s$ est quand $\theta = 0$, qui est la direction de $\nabla \phi$, mais pourquoi le plus grand $\frac{d \phi}{d s}$ impliquent la direction de l'augmentation la plus rapide de $\phi$?
Réponses
Je pense que la meilleure façon de comprendre les formules de la dérivée directionnelle est de comprendre la dérivée totale, qui est la «meilleure» généralisation de la dérivée dans le calcul à variable unique. Une fonction$\varphi:\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ s'appelle totalement différentiable en $x_0$ s'il y a une carte linéaire $L:\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ tel que $f(x)\approx f(x_0)+L(x-x_0)$. La définition spécifique de$\approx$ n'est pas trop important pour le moment.
Cette carte linéaire $L$ s'appelle le différentiel (total) de $f$ à $x_0$. La plupart des concepts importants du calcul multivariable se résument au différentiel total. Le jacobien d'une fonction est la représentation matricielle du différentiel total. La transposition du dégradé aussi. Et dans le calcul à variable unique, la représentation matricielle n'aurait qu'une seule entrée, qui est la dérivée 1d. Maintenant, pour une notation sans ambiguïté, nous écrivons le différentiel total de$f$ à $x_0$ comme $\mathrm Df(x_0)$. Nous aurons besoin de cette notation pour généraliser la règle de la chaîne: si$f$ et $g$ sont des fonctions différenciables, alors $f\circ g$ est également différenciable et il tient que
$$\mathrm D(f\circ g)(x)=\mathrm Df(g(x))\mathrm Dg(x).$$
Remplacer $\mathrm Df=f'$ et $\mathrm Dg=g'$pour obtenir la règle de chaîne 1d. Désormais, toutes vos formules sont des applications de cette règle de chaîne généralisée. La dérivée directionnelle de$\varphi$ sur le chemin $\mathbf r$ est le dérivé de $\varphi\circ\mathbf r$, C'est
$$\mathrm D(\varphi\circ r)=\mathrm D\varphi(\mathbf r)\mathrm D\mathbf r.$$
Avec $\mathrm D\varphi=\nabla\varphi$ et $\mathrm D\mathbf r=\partial_u\mathbf r$vous obtenez toutes vos formules. Choisissez simplement un paramétrage approprié du chemin$r$.
Passons maintenant à vos questions.
Question 1: Vous obtenez cela par la règle de la chaîne comme mentionné ci-dessus.
Question 2: $\mathbf t$ est tangente à la trajectoire, mais comment la trajectoire se situe par rapport aux surfaces équipotentielles de $\varphi$n'est mentionné nulle part. Elle pourrait être tangente, auquel cas la dérivée directionnelle serait en fait$0$. Mais ça ne doit pas être.
Question 3: Vous choisissez le chemin$\mathbf r(u)=\mathbf x_0+u\mathbf a$, et alors $\partial_u\mathbf r=\mathbf a$. Le reste est la règle de la chaîne. Et oui, pour ce chemin spécifique, le vecteur tangent$\mathbf t$ est exactement $\mathbf a$.
Question 4: C'est ce qu'est la dérivée directionnelle: une mesure du taux de changement dans une certaine direction. Selon la formule, il est le plus grand dans la direction du vecteur de gradient, car alors$\cos\theta=1$. Ainsi, le vecteur de gradient pointe dans la direction de l'augmentation la plus rapide.